7.3 复数的三角表示 教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§7.3复数的三角表示一、内容和内容解析内容：复数的三角表示，复数乘除运算的三角表示式及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示,培养数学抽象的核心素养．（2）了解复数的辐角及辐角的主值的含义,培养数学抽象的核心素养．（3）会利用复数三角形式进行复数乘、除运算,培养数学运算的核心素养． （4）了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义，培养数学抽象的核心素养.目标解析：（1）复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和深化.复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，同时为学生今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础.可见本单元的内容在高中数学乃至大学数学课程中起着承前启后的作用.（2）复数的三角表示，实际上是用有序数对来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系,可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显.实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩,借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决.因此，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义在本单元中具有重要地位.（3）本单元内容突出了复数的三角表示和乘、除运算的几何意义，体现了形与数的融合、如复数的三角表示是从向量出发，通过数形结合，利用三角函数知识推导得出的；复数的乘、除运算可以借助三角表示的几何意义转化为向量的旋转和伸缩变换等，此外，本单元的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如复数的三角形式和代数形式可以互相转化，复数除法运算的三角表示可以转化为复数乘法运算的三角表示，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决、某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等，再有，本单元在研究过程中也运用了类比的研究方法,如三角形式的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的等，运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数三角表达式与代数表达式之间的互化及复数乘、除运算的三角表示．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量一一对应；掌握了复数乘、除运算的运算法则，这为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量和三角函数的联系性，这是突破难点的一个重要举措；探究出复数的三角表示式后，让学生明晰复数三角表示式的基本结构特征，这样有助于学生理解复数的三角表示式.教学问题二：在能力基础方面，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题.所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.解决方案：可以借助信息技术工具，分别画出复数, (或)表示的向量，让学生观察 (或)的模和辐角与的模和辐角的关系，进而得出相应的几何意义.也可以先给出几个具体的例子，让学生观察规律，再归纳总结得出一般性结论、这样就能帮助学生理解复数乘、除运算三角表示的几何意义，从而有效地突破这个难点．基于上述情况，本节课的教学难点定为：复数的代数表示与三角表示之间的关系和复数乘、除运算的几何意义．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、推导、类比、归纳得到复数的三角表示式和复数乘除法的三角表示，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数乘法三角形式的推导过程，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知新[问题1] 如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y? 教师1： 提出问题1．学生1：学生思考．通过复习三角函数的定义，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。探索交流，解决问题阅读课本，思考以下问题：[问题2] 什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？[问题3] 复数的辐角有怎样的特征？[问题4] 复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？[问题5] 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?[问题6] 复数的三角形式乘法运算如何进行？[问题7] 复数的三角形式乘法运算的三角表示的几何意义是？[问题8] 复数的三角形式除法运算如何进行？[问题9] 复数的三角形式除法运算的三角表示的几何意义是？教师2：提出问题2． 学生2：以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π.教师3：提出问题3．学生3：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.教师4：提出问题4．学生4：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连教师5：提出问题5．学生5：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．教师6：提出问题6.学生6：设的三角形式分别是：简记为 ：模数相乘，幅角相加教师7：提出问题7.学生7：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．教师8：提出问题8.学生8：设的三角形式分别是：简记为 ：模数相除，幅角相减.教师9：提出问题9.学生9：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．通过思考，引入复数的三角形式，并分析推导出复数三角形式的乘、除运算及其几何意义，提高学生分析问题、概括问题能力。典例分析，举一反三1.复数的代数形式化为三角形式例1.将下列复数代数式化成三角形式：(1)eq \r(3)＋i；(2)1－i.2.复数的三角形式化为代数形式例2.复数z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(2π,3)＋icos \f(2π,3)))化为代数形式为(　　)A.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)i B.－eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)iC.－eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i D.eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i3.复数的三角形式乘法运算例3已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.4.复数的三角形式除法运算例4计算 .[课堂练习1]把下列复数表示成三角形式： (1)eq \r(3)－i; (2)－2(sineq \f(3π,4)＋icoseq \f(3π,4))．[课堂练习2] 设π<θ<eq \f(5π,4)，则复数eq \f(cos 2θ＋isin 2θ,cos θ－isin θ)的辐角主值为(　　)A.2π－3θ B.3θ－2πC.3θ D.3θ－π教师10：完成例题1.学生10：(1)r＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以cos θ＝eq \f(\r(3),2)，对应的点在第一象限，所以arg(eq \r(3)＋i)＝eq \f(π,6)，所以eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))).(2)r＝eq \r(12＋（－1）2)＝eq \r(2)，所以cos θ＝eq \f(\r(2),2)，对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝eq \f(7π,4)，所以1－i＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(7π,4)＋isin \f(7π,4))).教师11：完成例题2.学生11：z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(2π,3)＋icos \f(2π,3)))＝eq \r(3)sin eq \f(2π,3)＋eq \r(3)icos eq \f(2π,3)＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋ieq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i.答案　D教师12：完成例题3．学生12：.首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（如图）.即为积所对应的向量. ．教师13：完成例题4．学生13：原式教师14：布置课堂练习1、2．学生14：完成课堂练习，并核对答案．通过例题1，2，进一步巩固复数三角形式和代数形式的相互转化，巩固所学定义。通过例题3,4进一步巩固复数三角形式的乘除运算，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1] 巩固复数三角形式的转化．[课堂练习2] 巩固复数三角形式的乘除运算 课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习] 1.将复数i对应的向量eq \o(ON,\s\up6(→))绕原点按顺时针方向旋转eq \f(π,3)，得到向量eq \o(OM,\s\up6(→))，则eq \o(OM,\s\up6(→))对应的复数是(　　)A.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i B.－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)iC.－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i D.eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i2.将复数z＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3)＋icos \f(π,3)))化为代数形式为________.3.argeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝________.4.计算(cos π＋isin π)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝________.教师15：提出问题10．学生15： 学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.A 2.4eq \r(3)＋4i 3.　eq \f(4π,3) 4.－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，提升数学核心素养．课后练习是对知识巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．