初中数学人教版八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线优质教学作业课件ppt

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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
人教版数学八年级上册
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.
观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高)
∵ AD是△ABC的高 ∴ ∠BDA=∠CDA=90°
∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°) ∴ AD是△ABC的高
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
锐角三角形的三条高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高
直角边BC边上的高是____；直角边AB边上的高是____；斜边AC边上的高是____.
AB
BC
BD
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于同一点.
三角形的三条高所在直线交于同一点.
三角形的三条高的特性
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
例1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
 
 
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．
 
已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
 
 
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？
例2.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
 
 
 
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
【点睛】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．
解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm．∴AC-AB=3cm．又∵AB+AC=11cm，∴AB=4cm，AC=7cm．即AC的长度是7cm．
任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗？
∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线.
 
∵ ∠1=∠2 ∴ AD是△ABC的角平分线
画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什么结论？
例3. 如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为______．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案为14°．
14°
如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=_____cm．
30
1.下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A. B. C. D.
D
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
D
 
B
4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
A
 
6
6．已知△ABC中，AC=30cm，中线AD把△ABC分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm，则AB的长是________________．
42cm或18cm
7．如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，△ABE的面积=12cm2，AD=4.8cm，∠CAB=90°，AB=6cm．求：（1）BC的长；（2）△ABC的周长．