初中数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线习题

这是一份初中数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线习题，共18页。试卷主要包含了4B．3等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，
A．B分别为x轴、y轴正半轴上两动点，∠BAO的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则∠C的度数随A、B运动的变化情况正确的是
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠C的度数逐渐减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠C的度数逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠C的度数逐渐增大
D．在点A、B运动的过程中，∠C的度数不变
2．如图所示，AD是的高，延长BC至E，使，的面积为，的面积为，那么( )
A．B．C．D．不能确定
3．将三角形面积分为相等两部分的线是( )
A．三角形的角平分线B．三角形的三边垂直平分线
C．三角形的高线D．三角形的中线
4．如图，把的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点，， 顺次连接成△，若△ABC的面积是3，则△的面积是（ ）
A．15B．18C．21D．24
5．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部
6．如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
7．如图所示，在中，，以AD为高的三角形有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在中，边上的高是（ ）．
A．线段B．线段C．线段D．线段
9．如图，在中，，，，，是边上的高，则的长是（ ）
A．2.4B．3.6C．4D．4.8
10．如图，BD是的边AC上的中线，AE是的边BD上的中线，BF是的边AE上的中线，若的面积是32，则的面积是( )
A．8B．9C．18D．12
11．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的( )
A．中线B．高线C．角平分线D．以上都不对
12．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．如图，和分别是的中线和高，且，，则S△ABC=

14．已知A3,2，，若顶点在如图所示的正方形网格的格点上，且三角形的面积为2，小明写出了C点的坐标为，，请你写出其它符合条件的所有C点的坐标 ．

15．如图，为钝角三角形，分别过点A、B作、边上的高、，已知，则的长为 ．
16．如图，的两条中线相交于点F，若的面积为8，则四边形的面积为 ．

17．如图，中，点D、点E分别在边上，相交于点F，的面积分别是2、2、1，那么四边形的面积是 ．
18．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，如果BD=6，那么OD= ．
19．如图，在△ABC中，AD为中线，△ABD的面积为20，则△ABC的面积= ．
20．如图，点E是的重心，中线AD＝3㎝，则DE＝ ㎝．
三、解答题
21．已知在中，的对边分别为a、b、c．
(1)化简代数式_________．
(2)若边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
22．已知是ΔABC的边上一点，连结，此时有结论，请解答下列问题：
（1）当是边上的中点时，的面积 的面积（填“>”“<”或“=”）．
（2）如图1，点分别为边上的点，连结交于点，若、、的面积分别为5，8，10，则的面积是 （直接写出结论）．
（3）如图2，若点分别是ΔABC的边上的中点，且，求四边形的面积．可以用如下方法：连结，由得，同理：，设，，则，，由题意得，，可列方程组为：，解得，可得四边形的面积为20．解答下面问题：
如图3，是的三等分点，是的三等分点，与交于，且，请计算四边形的面积，并说明理由．
23．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，利用网格点和三角板画图或计算：

(1)在给定方格纸中，将经过一次平移后得到，若点的对应点为，请画出平移后的；
(2)图中与的数量关系和位置关系是______；
(3)画出的边上的高，并求的面积．
24．已知，按要求解答下列问题．
(1)如图1.
①作边上的高线；
②通过测量、计算得的面积约为______；（结果保留一位小数）
(2)如图2，在正方形网格中，点、、是网格线交点，建立平面直角坐标系，使得，．
①补全平面直角坐标系；
②点在直线上，若，则点的坐标为______
参考答案：
1．D
【详解】试题分析：根据三角形外角的性质可得∠ABE=90°+∠OAB，根据角平分线的性质可得：∠ABD=45°+∠OAB，根据外角的性质可得：∠ABD=∠C+∠BAC，则45°+∠OAB=∠C+∠OAB，则∠C=45°，角度永远不会变.
点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.在解决这个问题的时候我们首先要明白三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，然后根据角平分线的性质将各个角用三角形的内角来进行表示出来，最后根据所求的内角所处的三角形内角和定理来进行求解，得出答案.在解决三角形角的问题时，我们一定要明确内角和外角之间的关系，根据角平分线或者垂线的性质得出其余角的度数.
2．B
【分析】因为，AD是的高，也是的高，根据三角形的面积公式底高，CE与BC边上的高都是AD，所以，的面积等于的面积即．
【详解】解：根据等底同高，可得：．
3．D
【分析】根据等底等高的两个三角形面积相等可得：三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分．
【详解】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线．
4．C
【分析】连接AB'、BC'、CA'，由题意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，由三角形的中线性质得出△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC'的面积=△AA′C的面积=△BB'C的面积=△A'C'C的面积=3，即可得出△A′B′C′的面积．
【详解】连接AB'、BC'、CA'，如图所示：
由题意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，
∴△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC'的面积=△AA'C的面积=△BB'C'的面积=△A'C'C的面积=3，
∴△A′B′C′的面积=3×7=21；
5．A
【分析】根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，
B.直角三角形有三条高，故该选项错误，
C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，
D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，
6．A
【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到S△ABC的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半．
【详解】解：∵点是的中点，（阴影部分），
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
∴的面积等于．
7．D
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【详解】∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
8．A
【分析】根据三角形的高的定义，可直接进行排除选项．
【详解】解：由图可知：边上的高是线段；
9．D
【分析】利用等面积法求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
则，
10．A
【分析】根据三角形中线的性质可知，△ABD的面积等于总面积的一半，再由AE是BD边的中线，可知△ABE的面积是△ABD面积的一半，从而求出△ABE的面积.
【详解】解：∵BD是的边AC上的中线，
∴△ABD的面积= 的面积= 32=16.
∵AE是的边BD上的中线，
∴△ABE的面积=的面积= 16=8.
11．A
【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等解答.
【详解】解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，面积相等.
12．B
【分析】先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到，求出CD的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵AD是BC上的中线，
∴．
13．6
【分析】由中线的定义可求得的长，即可求得面积．
【详解】解：是的中线，，
，
又高，
，
14．和
【分析】根据网格的特点和三角形面积公式求解，即可得到答案．
【详解】解：由正方形网格可知，当C点的坐标为和时，三角形的面积为2，
即其它符合条件的所有C点的坐标为和，
15．6
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得，再利用，求解即可.
【详解】解：，且，
，
，且，
，
解得，
16．8
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，再表示出与，即可得解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
17．7
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．
连，根据的面积分别是2、2、1，得出，，即，，再根据，，算出，，再根据进而可得四边形的面积．
【详解】解：如图，连，
∵的面积分别是2、2、1，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
18．2
【详解】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴OB=2OD，
∵BD=6，
∴OD=×6=2
19．40
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AD为中线，△ABD的面积为20，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=20，
∴△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积=40．
20．1
【详解】试题分析：重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
故AE：DE=2：1 ， 又＝3㎝ ， 所以，==1㎝
考点： 三角形重心的性质
点评：此题主要考查三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．
21．(1) (2)12
【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得；
（2）先根据三角形中线的定义可得，再分①和②两种情况，分别求出a,c的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
，
故答案为：．
（2）解：画出图形如下：
由题意可知，，
，
，
是边上的中线，且，
，
分以下两种情况：
①当时，即，
解得，
此时的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
②当时，即，
解得，
此时的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，腰长为12．
22．（1）=；（2）18；（3），见解析
【分析】（1）利用同高（或同底）的三角形面积比等于对应边（或高）的比即可得．
（2）连接 ，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得．
（3）连接 ，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得．
【详解】（1）∵，是边上的中点
∴ ，则
（2）如图，连结
∵、、的面积分别为5，8，10，
∴，
∴
设，
则
整理得 解得，
则．
（3）连结，设，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
则可列方程组 ，加减消元法
解得
∴四边形的面积为：
23．(1)见解析 (2)相等且平行 (3)见解析，8
【分析】（1）根据点的对应点为，确定平移的方向和距离，再利用此规律分别确定点和的位置，即可作出；
（2）根据平移的性质即可判断；
（3）根据三角形高的定义作出高线，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为平移后的图形；

（2）解：∵平移后得到，
∴，
∴与的数量关系和位置关系是相等且平行；
（3）解：如图，即为的高，
．
24．(1)①见解析；②
(2)①见解析；②P2,3或
【分析】（1）①根据三角形高的定义，画出作边上的高线；
②通过测量AD,BC，根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（2）①根据已知点的坐标确定原点位置，进而补全坐标系即可求解；
②根据三角形面积公式求得，设，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求；
②解：通过测量可得
计算得的面积约为
故答案为：．
（2）①补全平面直角坐标系如图所示，
②设，
∵，
∴
∴，
∴P2,3或