北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和第1课时学案设计

第1课时　等差数列的前n项和(一)

[教材要点]

要点　等差数列{an}的前n项和公式

两种不同形式

(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝______________，

(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝______________．

状元随笔　(1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．

由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.

我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．

(2)公式的结构

①Sn＝形似于梯形面积公式．

②Sn＝na1＋d＝n2＋n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为即公差的一半．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)

(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.(　　)

(3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．(　　)

(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　　)

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　)

A．45　　　B．52

C．108    D．54

3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)

A．230    B．420

C．450    D．540

4．在等差数列{an}中，a1＝，S4＝20，则d＝________．

题型一　等差数列前n项和的基本运算

例1　在等差数列{an}中，

(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；

(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；

(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

方法归纳

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．

跟踪训练1　在等差数列{an}中，

(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；

(2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

(3)已知a3＋a15＝40，求S17.

题型二　等差数列前n项和性质的应用

例2　(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　)

A．130    B．170

C．210    D．260

(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________．

状元随笔　(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．

(2)中＝＝.

方法归纳

等差数列前n项和的常用性质

(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．

(2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的.

(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式＝·进行转化，再利用其他知识解决问题．

(4)用公式Sn＝时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合．

跟踪训练2　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(　　)

A．18　　　　　　　　　B．17

C．16    D．15

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．

题型三　等差数列前n项和的最值问题

例3　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．

变式探究　将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取得最大值时，n的值为________．

方法归纳

1．二次函数法

等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以若a1>0，d<0，则Sn必有最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．

2．通项公式法

若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；

若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定．

3．图象法

利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．

跟踪训练3　在等差数列{an}中a1＝13，S3＝S11，试求Sn的最大值．

易错辨析　忽略等差数列中为零的项而致错

例4　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．

解析：(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.

构建不等式组

即解得14≤n≤15.

故当n＝14或n＝15时Sn最大．

(法二)由S11＝S18知，a1＝－14d，

所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d.

由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．

(法三)由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．

答案：14或15

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝(　　)

A．96    B．72

C．48    D．60

2．在等差数列{an}中，若a2＋a10＝－70，则S11等于(　　)

A．－770    B．－385

C．770    D．385

3．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝－4，a7＝4，则(　　)

A．S4>S6    B．S4＝S5

C．S6>S5    D．S6＝S5

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________. 

5．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}前n项和Sn的最大值.

第1课时　等差数列的前n项和(一)

新知初探·课前预习

要点

(1)　(2)na1＋d

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：S9＝＝＝54.故选D.

答案：D

3．解析：S20＝20a1＋d＝20×2＋×2＝420.

故选B.

答案：B

4．解析：由S4＝4a1＋d＝4××d＝20，

解得d＝3.

答案：3

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.

又∵a15＝＋(15－1)d＝－，

∴d＝－.∴n＝15，d＝－.

(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

∴a8＝39，d＝5.

(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，

∴

解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.

跟踪训练1　解析：(1)∵Sm＝m×＝－15，

整理得m2－7m－60＝0

解得m＝12或m＝－5(舍去)

∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.

(2)

解得

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.

(3)S17＝＝＝＝340.

题型二

例2　解析：(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．

所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，

即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.

(2)由等差数列的性质，知

＝＝＝＝＝.

答案：(1)C　(2)

跟踪训练2　解析：(1)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.

(2)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22，

所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.

方法二：设等差数列{an}的公差为d，

则＝(n－1)＋a1，所以数列成等差数列．

所以＝，即＝，

所以S110＝－110.

方法三：设等差数列{an}的公差为d，

S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，

又因为S100－10S10＝d－d＝10－10×100，

即100d＝－22，所以S110＝－110.

答案：(1)A　(2)－110

题型三

例3　解析：解法一：函数法

由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，

因为a1>0，所以－<0.

故当n＝7时，Sn最大．

解法二：通项公式法

由解法一可知，d＝－a1.

要使Sn最大，则有

即

解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．

答案：7

变式探究　解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，

∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．

答案：12或13

跟踪训练3　解析：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d.

又∵a1＝13，∴d＝－2.∴an＝13＋(n－1)(－2)＝15－2n.

令an≥0，得n≤7.5，即数列的前7项为正数，从第8项起，以后各项为负数，

∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49.

[课堂十分钟]

1．解析：由题可知，求得所以S12＝×12＋＝48.故选C.

答案：C

2．解析：由a2＋a10＝－70得2a6＝－70，即a6＝－35,

所以S11＝＝11a6＝－385.

故选B.

答案：B

3．解析：设等差数列{an}的公差为d，

因为a3＝－4，a7＝4，

所以a1＋2d＝－4，a1＋6d＝4，

联立解得：a1＝－8，d＝2，

所以S4＝4a1＋d＝－20，

同理可得：S5＝－20，S6＝－18.

所以S4＝S5，S6>S5，S4<S6.

答案：BC

4．解析：因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成的数列也为等差数列，公差为n2d, (d为数列{an}的公差)

所以S6－S3＝S3＋32d＝3＋9d＝21，解得d＝2.

又因为S3＝3a1＋×2＝3，所以a1＝－1.

所以a9＝－1＋8×2＝15.

答案：15

5．解析：(1)设{an}的公差为d,

由已知条件，解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.

(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，

所以n＝2时，Sn取得最大值4.