高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列2 等差数列2.2 等差数列的前n项和图片ppt课件

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知识点1　等差数列前n项和的函数特征
受n的取值的限制,画出的图象为平面直角坐标系内的一串点
名师点睛1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形:
2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(　　)(2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.(　　)(3)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n= 取得.(　　)(4)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.(　　)2.若数列{an}的通项公式an=2n-37(n∈N+),则当n为何值时Sn取得最小值?
提示 由通项公式易知,a1,a2,…,a18都小于0,所以当n=18时Sn取得最小值.
知识点2　等差数列{an}的前n项和Sn的性质1.若{an}是等差数列,则 也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}的公差的 .2.若Sm,S2m,S3m分别为公差是d的等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差数列.
3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质:
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若等差数列{an}的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.(　　)(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差数列.(　　)2.若{an}是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列?如果是,公差是多少?
提示 (a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列.
探究点一　等差数列前n项和的性质的应用
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.
解 (方法一)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
规律方法　等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
解析 因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,
(2)等差数列{an}的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.
(3)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
解 (方法一)设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.
又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)a1+ d=77.∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.∴项数为2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中间项为11,项数为7.
探究点二　等差数列前n项和的综合运用
角度1.等差数列前n项和的最值问题【例2】 (1)(多选题)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N+),则下列说法正确的是(　　)A.若S3=S11,则必有S14=0B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项C.若S7>S8,则必有S8>S9D.若S7>S8,则必有S6解析 根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0, S14= =7(a7+a8)=0,选项A正确;根据Sn的图象,当S3=S11时, ∵ =7,且d<0,∴S7是最大值,选项B正确;若S7>S8,则a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,选项C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,选项D错误.故选ABC.
(2)在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.
(方法二)同方法一,求出公差d=-2.∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.∵a1=25>0,
(方法三)同方法一,求出公差d=-2.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.∴a13>0,a14<0.∴当n=13时,Sn有最大值,即S13=13×25+ ×(-2)=169.(方法四)同方法一,求出公差d=-2.设Sn=An2+Bn.∵S9=S17,∴当n=13时,Sn取得最大值,即S13=13×25+ ×(-2)=169.
规律方法　1.等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形:①若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和.②若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.2.求等差数列前n项和Sn最值的方法:①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用 来寻找.②运用二次函数求最值.
变式训练2设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n的值为(　　)A.8B.7C.6D.9
则等差数列{an}的通项公式为an=-11+2(n-1)=2n-13,则在等差数列{an}中,a1角度2.含绝对值的等差数列求和问题【例3】 已知数列{an}的前n项和 ,求数列{|an|}的前n项和Tn.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+).由an=-3n+104≥0,得n≤34 .即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.
(2)当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn
变式探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.
规律方法　已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
探究点三　等差数列求和的实际应用
【例4】 7月份,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月的哪一天该款服装销售最多?最多售出几件?(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天?
解 (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N+,1≤n≤31),最多售出ak件.∴7月13日该款服装销售最多,最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,∵S13=273>200,∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31,∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
规律方法　应用等差数列解决实际问题的一般思路
变式训练3某地去年9月份曾发生流感,据统计,9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起,该地区医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到有效控制,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数.(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人? 
解 (1)由题意,知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1=40,公差d=40的等差数列{an},所以9月10日的新感染者人数为a10=40+(10-1)×40=400.从9月11日起,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10,所以9月11日的新感染者人数为400-10=390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1=390,公差d1=-10的等差数列{bn},又因为b20=390-10×19=200,所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 ,所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人).
1.知识清单:(1)等差数列前n项和的性质的应用.(2)等差数列前n项和的综合应用.(3)等差数列求和的实际应用.2.方法归纳:转化化归、整体代换.3.常见误区:(1)对公式Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不理解乱用出错;(2)求数列{|an|}前n项和问题对分段形式不理解而出错.
1.设数列{an}是等差数列,公差为d>0,且Sn为其前n项和,若S10=9a1+40d,则Sn取最小值时,n为(　　)A.5B.6C.5或6D.6或7
解析 因为S10=9a1+40d,所以10a1+45d=9a1+40d,所以a1=-5d,即a6=0.因为数列{an}是等差数列,公差为d>0,所以当n=5或6时,Sn取最小值.故选C.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,S6=21,则S9=(　　)A.27B.45C.18D.36
解析 由已知S3,S6-S3,S9-S6,即6,15,S9-21成等差数列,所以2×15=6+(S9-21),所以S9=45,故选B.
4.在中国古代诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十二斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十六,要将第八数来言.”题意是:把992斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多16斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　)A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤
解析 设第8个儿子分到的绵是a1,第9-n个儿子分到的绵是an,则{an}构成以a1为首项,-16为公差的等差数列,S8=8a1+ ×(-16)=992,解得a1=180,故选C.