高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和精练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和精练，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=12，则S12=( )
A. 18B. 36C. 54D. 60
2.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？( )
A. 38B. 35C. 32D. 29
3.记单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且a1a5=a2a3，则S10=( )
A. 70B. 65C. 55D. 50
4.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=60，则a2+a8的值为( )
A. 15B. 20C. 30D. 40
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=2n3n+1，则a5b5=( )
A. 23B. 914C. 2031D. 1117
6.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
7.设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A. d>0B. a7=0
C. S9>S5D. S6与S7均为Sn的最大值
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已a3=12，S12>0，a7<0，则( )
A. a6>0B. 数列{1an}是递增数列
C. Sn<0时，n的最小值为13D. 数列{Snan}中最小项为第7项
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. {Sn}可能是等差数列B. { Sn}一定是等差数列
C. {2an}一定是等比数列D. { Snn}不一定是等差数列
10.已知{an}是首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则下列命题中正确的有( )
A. 若S10=0，则S2+S8=0
B. 若S4=S12，则使Sn>0的最大的n为15
C. 若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大
D. 若S7三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n−1，则数列{Snn}的前20项和为______.
12.已知各项均为正整数的递增数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，Sn=2024，当n取最大值时，an的值为______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=12，
则a2=2，a5=4，
故d=a5−a23=23，
a1=a2−d=43，
S12=12a1+12×112d=12×43+66×23=60.
故选：D.
根据已知条件，先求出首项与公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设这位公公9个儿子的年龄从大到小成等差数列，设年龄最大的儿子年龄为a1，则公差为d=−3，
由题意，S9=9a1−9×82×3=9a1−36×3=207，求得a1=35，
故选：B.
设这位公公9个儿子的年龄从大到小成等差数列，设年龄最大的儿子年龄为a1，则公差为d=−3，再利用S9=207，求得a1的值，可得结论．
本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意可知，d>0，
a1=2且a1a5=a2a3，
则2(2+4d)=(2+d)(2+2d)，解得d=1，
故S10=10a1+10×92d=20+45=65.
故选：B.
根据已知条件，结合等差数列的性质，求出公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可得3a5=60，可得a5=20，
故a2+a8=2a5=40.
故选：D.
根据等差数列的性质求解即可．
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，S9=92(a1+a9)=9a5，T9=92(b1+b9)=9b5，
∴a5=19S9，b5=19T9，
∴a5b5=19S919T9=S9T9=2×93×9+1=914.
故选：B.
利用等差数列的前n项和公式化简后可得a5=19S9，b5=19T9，进一步根据a5b5=19S919T9=S9T9进行求解即可．
本题考查等差数列的性质及前n项和公式，考查学生归纳推理与运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，
由题意可得，S5=5a1+5×42×3=60，
解得a1=6，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个，
故选：B.
设第一个人分到的橘子个数为a1，利用等差数列的前n项和公式即可求出a1.
本题主要考查等差数列的应用，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．
7.【答案】BD
【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，依次分析选项：
{an}是等差数列，若S6=S7，则S7−S6=a7=0，故B正确；
又由由S50，则有d=a7−a6<0，故A错误；
而C选项，S9>S5，即a6+a7+a8+a9>0，可得2(a7+a8)>0，
又由a7=0且d<0，则a8<0，必有a7+a8<0，显然C选项是错误的．
∵S5S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；
故选：BD.
根据题意，由等差数列的性质分析选项，综合即可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列前n项和的性质，属于基础题．
8.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等差数列{an}中，S12>0，即S12=(a1+a12)×122=(a6+a7)×122=6(a6+a7)>0，又由a7<0，则a6>0，A正确；
对于B，由A的结论，a6>0且a7<0，则1a6>0且1a7<0，数列{1an}不会是递增数列，B错误；
对于C，根据题意，S13=13×(a1+a13)2=13a7<0，而S12>0，故Sn<0时，n的最小值为13，C正确；
对于D，数列{Snan}中，n≤6时，Snan>0，7≤n≤12时，Snan<0，n≥13时，Snan>0.
当7≤n≤12时，Snan<0.
Sn>0，但是随着n的增大而减小；an<0，但是随着n的增大而减小，
故Snan<0，但是随着n的增大而增大．
故n=7时，Snan取得最小值，D正确；
故选：ACD.
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查等差数列的性质以及应用，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A选项：Sn=d2n2+(a1−d2)n，当d=0时，{Sn}是等差数列，A正确；
B选项： Sn= d2n2+(a1−d2)n，当a1−d2≠0时，{ Sn}不是等差数列，B错误；
C选项：因为an=a1+(n−1)d，an+1=a1+nd，2an=2a1+(n−1)d，2an+1=2a1+nd，
2an+12an=2(a1+nd)−(a1+nd−d)=2d，所以{2an}为等比数列，C正确；
D选项：因为Sn=d2n2+(a1−d2)n， Snn= d2n+a1−d2= a1+n−12d，
当d=0时，{ Snn}为等差数列，当d≠0时，{ Snn}不是等差数列，
所以{ Snn}不一定是等差数列，所以D正确．
故选：ACD.
根据等差数列的通项公式形式为：an=kn+b求出A，B，D选项的通项公式即可判断，根据等比数列的定义判断C选项．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若S10=0，则S10=10a1+45d=0，
∵d≠0，∴S2+S8=2a1+d+8a1+28d=10a1+29d=−16d≠0，∴A错误，
对于B，若S4=S12，则S12−S4=0，即a5+a6+……+a11+a12=4(a8+a9)=0，由于a1>0，则a8>0，a9<0，
则有S15=15(a1+a15)2=15a8>0，S16=16(a1+a16)2=0，故使Sn>0的最大的n为15，故B正确，
对于C，若S15>0，S16<0，则S15=15(a1+a15)2=15a8>0，S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)<0，
则有a8>0，a9<0，则{Sn}中S8最大，故C正确，
对于D，若S70，由于a1>0，则S9−S8=a9正负不确定，故D错误，
故选：BC.
利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可．
本题考查等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于中档题．
11.【答案】210
【解析】解：∵数列{an}满足an=2n−1，∴数列{an}是等差数列，
∴Sn=n(a1+an)2=n(1+2n−1)2=n2，
∴Snn=n，
∴数列{Snn}的前20项和为20(1+20)2=210，
故答案为：210.
先由题设求得Snn，再利用等差数列的前n项和公式求得结果．
本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
12.【答案】74
【解析】解：因为{an}为递增数列且均为正整数，a1=3，Sn=2023，
若n取最大值时，则当m即当2≤m则am=3+(m−1)=m+2，Sm=(3+m+2)×m2=m(m+5)2，
又因为S60=1950<2024，S61=2013<2024，S62=2077>2024，
若n的最大值为61，则a60=62，a61=2024−1950=74>62，符合题意；
若n的最大值为62，则a61=63，a62=2024−2013=11<63，不符合题意；
综上所述：当n取最大值时，an的值为74.
故答案为：74.
根据题意分析可得：当2≤m本题考查数列的函数特性，涉及等差数列的性质，属于基础题．