高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和优质课第1课时教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和优质课第1课时教学设计，共4页。教案主要包含了创设情境，引入课题，观察分析，感知概念，抽象概括，形成概念，辨析理解，概念应用，巩固内化，归纳总结,反思提升等内容，欢迎下载使用。

掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．
课时教学目标
了解等差数列前n项和公式的推导过程.
掌握等差数列前n项和公式.
熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
教学重点、难点
重点： 等差数列的前n项和的应用
难点：等差数列前n项和公式的推导方法
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
实例分析
如图1-14,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?
根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:
设共堆放了层,能构成正三角形垛的圆木料数为,则
环节二 观察分析，感知概念
这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢?
对于这个问题,高斯在小学时就巧妙地求出了时的结果.
小高斯回答说:“我不是按照1,2,3的次序一个一个往上加的.老师,您看,一头一尾两个数的和都是一样的:1加100是101,2加99是101,3加98是.把一前一后的数相加,一共有50个101,101乘50,得5050.”
高斯的算法是
环节三 抽象概括，形成概念
问题：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？
抽象概括
,公差为的等差数列,设是等差数列的前项和,即
的通项公式,上式可以写成
= 1 \* GB3 ①
再把项的次序反过来,又可以写成
= 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得
因此,等差数列的前项和公式为
= 3 \* GB3 ③
这个公式表明:等差数列前项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半.示意图如图1-15.
将代入 = 3 \* GB3 ③式,得
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
特别地,当时,个连续正整数的和
环节四 辨析理解 深化概念
思考交流
等差数列的前项和公式中共涉及哪几个相关量?这几个量分别表示什么?这几个相关量中,已知几个可以求出其他几个?判断的依据是什么?
本节开始提出的圆木堆放问题,可转化为求满足的最大自然数.易知当时,;当时,.故的最大值为19.此时,将堆放19层,剩余10根圆木料.
环节五 概念应用，巩固内化
例6求从1开始的连续个正奇数的和.
解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列.由等差数列前项和公式,得
故从1开始的连续n个正奇数的和为.
你能看出图1-16与本题的关系吗?
例7在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图1-17),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:
(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?
解：(1)设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为,由题意可知数列是等差数列,其中首项,公差,项数.
由等差数列的通项公式,得
（块）.
（2）由等差数列的前n项和公式,得
（块）.
环节六 归纳总结,反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式．
(2)等差数列前n项和公式的推导过程．
(3)由an与Sn的关系求an.
(4)等差数列在实际问题中的应用．
2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书 练习 第 1,2,3题
练习
1.在本节开始的问题(1)中,求剧场共有多少个座位?
从2开始,n个正偶数的和.
3.在等差数列中:
(1)已知,求和;
(2)已知,求和.