高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和优质ppt课件

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1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？
一、等差数列前n项和的性质
二、等差数列前n项和的函数性质与最值
问题1　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
问题2　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
提示　(1)若数列共有2n项，
(2)若数列共有(2n＋1)项，
等差数列{an}的前n项和Sn的性质
角度1　“片段和”性质的应用
例1　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为A.130 B.170 C.210 D.260
解析　利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
角度2　“奇偶项”性质的应用
例2　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
解　设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)个，偶数项有n个，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
又因为S奇＝(n＋1)·an＋1＝44，所以an＋1＝11.故这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练1　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为A.9 B.12 C.16 D.17
解析　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， ，则公差d＝____.
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
问题3　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
等差数列前n项和的函数性质与最值
2.因为 ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d<0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.
3.在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定；当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.
注意点：(1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1.(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
例3　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列的公差为d，因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
解　因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
延伸探究1.在本例中，根据第(2)问的结果，若Sn＝0，求n.
解　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝ ，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝ ×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.
故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n，n∈N＋.
2.把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值.
即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.
反思感悟　求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
跟踪训练2　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；
解　由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n，n∈N＋.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解　方法一　a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋ ·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，∵n∈N＋，当n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，an>0；
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
1.知识清单：(1)等差数列前n项和的性质及应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想.3.常见误区：(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误.(2)不注意运用性质导致解题烦琐.
1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是A.12 B.24 C.36 D.48
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于A.63 B.45 C.36 D.27
解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为____.
解析　由等差数列前n项和的性质，
即30－15＝5d，解得d＝3.
4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.
解析　∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大.
1.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于A.160 B.180C.200 D.220
解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝ ×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
2.在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为
解析　Sn为等差数列的前n项和，
故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足.
3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是A.－2 B.－1 C.0 D.1
解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，则正整数k为A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，
5.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.d<0B.a7＝0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析　∵S5S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S97.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为_____.
解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A.
可得2d＝2，即d＝1.
所以S2 021＝－2 021.
解　∵数列{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列，设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，S110＝－120＋S100＝－110.
10.在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值.
解　方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
解得11≤n≤12，∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是A.②③ B.①② C.①③ D.①④
解析　∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.
{Sn}中最大项为S6，④不正确.故正确的是①②.
12.等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列为定值的是A.S17 B.S18 C.S15 D.S16
解析　由等差数列的性质，得a5＋a11＝2a8，由a5＋a8＋a11为定值，得a8为定值.
解析　设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，
14.已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，若数列{bn}中bn＝|an|，数列{bn}的和为Tn，则下列命题正确的是______(填序号).①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；③当n≥8时，an<0；④一定有T3＝T11.
解析　由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0，故d<0，所以当n≥8时，an<0，所以②错误，③正确；数列{bn}的单调性是先减后增的，所以①错误；由于bn>0，所以T3≠T11，所以④错误.
15.已知等差数列{an}，满足a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于A.4 037 B.4 036 C.4 035 D.4 034
解析　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列.又a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，所以a2 019>0>a2 020，即数列的前2 019项为正数，从第2 020项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 037.
16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围.
解　由(1)知，an＝2n－17，
∴(Sn)min＝－64.Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，即－64>t.∴t∈(－∞，－64).