高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时导学案，共14页。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．
教学重点：等差数列前n项和的性质及其应用．
教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.




知识点 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，那么数列{an}为等差数列时应满足条件C＝0.
2．以前n项的项数为横坐标，前n项和为纵坐标的图象为抛物线上的一系列的孤立的点．
3．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(m∈N*)是等差数列，其公差等于m2d.
4．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
5．(1)等差数列的项数若为2n(n∈N*)项，则S2n＝n(a1＋a2n)且S偶－S奇＝nd，＝.
(2)等差数列的项数若为2n＋1(n∈N*)项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1且S奇－S偶＝an＋1，＝.
(3)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列．

1．等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系
一般地，对于等差数列{an}，如果a1，d是确定的，前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，设A＝，B＝a1－，上式可写成Sn＝An2＋Bn.当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上．
因此，当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图象是抛物线y＝Ax2＋Bx上的一群孤立的点．
可以证明：{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
2．等差数列的前n项和的最值
解决等差数列的前n项和的最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．
(3)通项法：当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的自然数时，Sn最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即递增；当an<0时，Sn 类似地，当a1<0，d>0，则n为使an≤0成立的最大自然数时，Sn最小．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn一定同时存在最大值和最小值．(　　)
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sm，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．(　　)
(3)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn一定有最小值，d<0，则该数列Sn一定有最大值．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________.
(3)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取最大值，则d的取值范围为________.
答案　(1)102　100　(2)20　(3)



题型一 等差数列前n项和性质的应用
例1　等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．
[解]　解法一：利用等差数列{an}前n项和公式Sn＝na1＋d.
由已知得
解得a1＝，d＝，
所以S3m＝3ma1＋d＝210.
解法二：记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210.

等差数列前n项和的常用性质
解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．
[跟踪训练1]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝(　　)
A．270 B．108
C．162 D．150
答案　A
解析　∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.
题型二 等差数列前n项和在实际中的应用
例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
[解]　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105(元)，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．

建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
[跟踪训练2]　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为(　　)

A.尺 B．尺
C．尺 D．尺
答案　C
解析　由题意可得，每天织布的量组成了等差数列{an}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋d＝390，解得d＝.故选C.
题型三 等差数列前n项和的最值问题
例3　等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．
[解]　由题意，可知a1＝25，S17＝S9，则17a1＋d＝9a1＋d，d＝－2.
解法一：Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大，最大值是169.
解法二：Sn＝n2＋n(d<0)，
Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为，即S13最大．如右图所示，最大值为169.

解法三：∵S17＝S9，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.
∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0.
∴S13最大，最大值为169.
解法四：∵a1＝25>0，由
得
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
[条件探究]　本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，Sn最小？
解　∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0，
∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.
∵a1<0，∴a13<0，a14>0，
∴S13最小，∴当n＝13时，Sn最小．

求解等差数列前n项和最值问题的常用方法
(1)二次函数法，即先求得Sn的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时可能为1个．
(2)不等式法
①当a1＞0，d＜0时，由⇒Sm为最大值；
②当a1＜0，d＞0时，由⇒Sm为最小值．
(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定Sn的最值．
[跟踪训练3]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，∵S12>0，S13<0，
∴即∴－ (2)∵S12>0，S13<0，∴∴
∴a6>0，又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大.
题型四 等差数列的奇(偶)项和问题
例4　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．
[解]　解法一：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)．
根据题意，得
即
∴解得a1＝，d＝，k＝4，
∴首项为，公差为，项数为8.
解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)．
根据题意，得∴
∴∴
代入S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.
∴首项为，公差为，项数为8.

等差数列的奇(偶)项和的性质
(1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则有：
①S2n＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝(S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、偶数项和)．
(2)设等差数列{an}的项数为2n－1(n≥2，且n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝.
[跟踪训练4]　(1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；
(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.
解　(1)等差数列{an}共有1006个奇数项，1005个偶数项，
∴S奇＝，S偶＝.
∵a1＋a2011＝a2＋a2010，
∴＝.
(2)前20项中，奇数项和S奇＝×75＝25，
偶数项和S偶＝×75＝50，
又S偶－S奇＝10d，
∴d＝＝2.5.
题型五 等差数列前n项和的比例问题
例5　(1)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且＝，则＝________；
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[解析]　(1)解法一：＝＝＝.
解法二：可设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)．
则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.
故＝＝.
(2)由题意，知解得
因为S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
[答案]　(1)　(2)见解析
[结论探究]　如果把本例(1)中问题，改为求＝________，怎样解答呢？
答案　
解析　设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)，
∴a5＝65t，b7＝T7－T6＝(7＋3)×7t－(6＋3)×6t＝16t.
∴＝＝.

解决等差数列前n项和问题的两种思路
(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质求解．
(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n项和之比来处理．
[跟踪训练5]　若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满足关系式＝(n∈N*)，求.
解　∵等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝＋n，＝，
∴设An＝k(7n2＋n)，Bn＝k(4n2＋27n)．
当n≥2时，an＝An－An－1＝7kn2＋kn－7k(n－1)2－k(n－1)＝k(14n－6)，bn＝Bn－Bn－1＝k(4n2＋27n)－k[4(n－1)2＋27(n－1)]＝k(8n＋23)．
∴＝，当n＝1时，也成立．



1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
答案　A
解析　＝＝＝＝·＝1.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(　　)
A．30 B．25
C．20 D．15
答案　D
解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15.
3．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则(　　)
A．d>0 B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5>S6
答案　BC
解析　因为Sn＝na1＋d，所以Sn＝n2＋n，又因为a1>0，S6＝S9，所以d<0，二次函数y＝x2＋x图象的对称轴为x＝＝，所以二次函数图象的开口向下，所以二次函数y＝x2＋x在上单调递增，在上单调递减，所以S5 4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.
答案　18
解析　设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意，得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6.则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.
5．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，求数列{an}的通项公式．
解　依题意得，＝3n－2，
即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
因为a1＝S1＝1，满足an＝6n－5，
所以an＝6n－5(n∈N*)．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)
A．36 B．18
C．72 D．9
答案　A
解析　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，可知S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　A
解析　∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，则d＝＝＝2，∴{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取得最小值．
3．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
答案　C
解析　设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A，B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．
4．已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使为整数的正整数n的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　由题意，可得＝，则＝＝＝＝＝＝7＋，经验证，知当n＝1,2,4,8时，为整数，即使为整数的正整数n的个数是4，故选C.
5．(多选)等差数列{an}中，若S6S8，则下面结论正确的是(　　)
A．a1>0 B．S9 C．a7最大 D．(Sn)max＝S7
答案　ABD
解析　等差数列{an}中，若S6S8，则a7>0，a8<0，故d<0.a1＝a7－6d>0，A正确；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9a7，故C错误；因为a7>0，a8<0，故(Sn)max＝S7，D正确．故选ABD.
二、填空题
6．在等差数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.
答案　－1
解析　∵an＝4n－，∴a1＝.设等差数列{an}的公差为d，则d＝an＋1－an＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n.∴a＝2，b＝－，故ab＝－1.
7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
答案　2000
解析　假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20
＝20(n2－21n＋210)＝20
因为n∈N*且1≤n≤20，所以当n＝10或11时，S取最小值，且最小值为2000米．
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S7＝28，则an＝________，的最大值是________.
答案　n　
解析　设等差数列{an}的公差为d，则
解得所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n.Sn＝＝，∴＝，令t＝n＋1，则t≥2且t∈N，＝＝，由对勾函数的单调性可知，函数y＝t＋＋7在t∈(0,2)时单调递减，在t∈(2，＋∞)时单调递增，当t＝3或t＝4时，取得最大值为.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解　(1)设{an}的首项、公差分别为a1，d.
则解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)＝2－，
∴当n＝3或n＝4时，前n项的和取得最小值为－18.
10．已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，n∈N*.
(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}为等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.
解　(1)证明：因为f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，
所以an＝3n－8，
因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，
所以数列{an}为等差数列．
(2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，
所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，
Sn＝＝＝，
当n≥3时，bn＝3n－8，
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)
＝7＋＝.
所以Sn＝
B级：“四能”提升训练
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，n∈N*.
(1)求a1及通项公式an；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，　①
n＝1时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a＝1，
而an>0，则a1＝1.
又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1，　②
由②－①可得(an＋1＋2)2－(an＋2)2＝4an＋1＋4，
a＝(an＋2)2，而an>0，
∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵bn＝(－1)n·(2n－1)，
∴Tn＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n－1)，
当n为偶数时，Tn＝＝n；
当n为奇数时，Tn＝－(2n－1)＝－n.
综上所述，Tn＝(－1)n·n.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋上，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
解　(1)由已知，得＝n＋，∴Sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式，
∴an＝n＋5(n∈N*)．
由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列．
由{bn}的前9项和为153，
可得＝9b5＝153，得b5＝17，
又b3＝11，∴{bn}的公差d＝＝3.
∵b3＝b1＋2d，∴b1＝5.∴bn＝3n＋2(n∈N*)．
(2)cn＝＝，
∴Tn＝
＝.
∵n增大时，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．
∴Tn≥T1＝.
若Tn>对一切n∈N*都成立，
只要T1＝>，∴k<19，则kmax＝18.