高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和完整版课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和完整版课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了解法1，由S3S11得，∴d－2，解法2，d－20，则Sn的图象如图所示，又S3S11，所以图象的对称轴为，解法3，d－2等内容，欢迎下载使用。

Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0)
特别的：对数列{n}：
等差数列前n项和公式的基本形式：
等差数列前n项和公式的函数特征
观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:
将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:
等差数列前n项和再认识
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0,a1=13>0
例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
变式　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
等差数列前n项和公式的推广
(1)若 a2+ a5+ a12+ a15=36, 则S16= 。
例3 等差数列{an}中,
(2)若 a1+ a2+ a3=12, a8+ a9+ a10=75, 则S10= 。
(3)若 a6=20, 则S11= 。
②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用等和性求a1+an的值.
应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
探究：若Sn＝n2＋2n＋1，试求an.
Sn与an之间的关系问题方法步骤：(1)由Sn构造Sn－1 → (2)利用an＝Sn－Sn－1 → (3)验证n＝1 → (4)写通项公式an.
解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1. 当n＝1时，a1＝1＋2＋1＝4，不适合an＝2n＋1，
等差数列连续等长片段和仍成等差数列
Sk, S2k-Sk , S3k-S2k ， …
设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C，
则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30,
S30=A+B+C=60.
3. 等差数列奇，偶项和问题
4.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，则
例5. 已知一个等差数列前12项的和是354，前12项 中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．
方法总结：求等差数列前n项和的最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
解：(1)由已知a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以当n＞1时有a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)，
所以两式作差可得：(2n－1)an＝2，
与等差数列求和有关的裂项求和问题：
例9.已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
数列{|an|}的前n项和问题：分类讨论
1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝(　　)A．96 B．72C．48 D．60
2．在等差数列{an}中，若a2＋a10＝－70，则S11等于(　　)A．－770 B．－385 C．770 D．385
3．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝－4，a7＝4，则(　　)A．S4>S6 B．S4＝S5C．S6>S5 D．S6＝S5
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.
5.　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(　　)A．18　　B．17C．16 D．15
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
6．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
等差数列前项和的最值问题有两种方法
与等差数列各项的和有关的性质
(2)若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质：