高中数学北师大版必修52.2等差数列的前n项和导学案及答案

这是一份高中数学北师大版必修52.2等差数列的前n项和导学案及答案，共12页。

等差数列的前n项和公式
阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题：
(1)等差数列的前n项和公式
(2)等差数列前n项和公式的推导
对于公差为d的等差数列，
Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②
由①＋②得
2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)
n个
＝n(a1＋an)，
由此得等差数列前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)，
代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d整理成关于n的函数可得Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0.
(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[提示] 求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．
1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝( )
A．－20 B．－40
C．－60D．－80
D [由公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)×d得S10＝10×1＋eq \f(10×9,2)×(－2)＝－80.]
2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝________.
eq \f(nn＋1,2) [由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n.由前n项和公式得Sn＝eq \f(nn＋1,2).]
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.
85 [S17＝eq \f(1,2)×17×(2＋8)＝85.]
4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.
2 [S8＝8×1＋eq \f(1,2)×8×7×d＝64，解得d＝2.]
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20.求S10；
(2)已知a1＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12；
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(2020－1,2)d＝20))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝20，,d＝－2.))所以S10＝10×20＋eq \f(10×9×－2,2)＝200－90＝110.
(2)因为Sn＝n·eq \f(3,2)＋eq \f(nn－1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝eq \f(3,2)＋(12－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4.
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
又因为Sn＝eq \f(a1＋ann,2)＝210，
所以n＝eq \f(2×210,a1＋an)＝14.
等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(n (a1＋an),2)结合使用．
1．等差数列中：
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)an＝8n＋2，d＝8，求S20；
(3)d＝eq \f(1,3)，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
[解] (1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，
得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，
∴Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(128×105＋994,2)＝70 336.
(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝8，
∴S20＝20a1＋eq \f(20×20－1,2)×8＝20×10＋10×19×8＝1 720.
(3)将d＝eq \f(1,3)，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝eq \f(na1＋an,2)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝a1＋12，,\f(37·a1＋an,2)＝629，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝11，,an＝23.))
【例2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－eq \f(1,3).
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
应用等差数列解决实际问题的一般思路
2．(1)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．
(2)为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m?
(1)7 [设n分钟后相遇，依题意，有2n＋eq \f(nn－1,2)＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．]
(2)[解] 将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5 000 m，公差d＝400 m.
所以S10＝10a1＋eq \f(10×10－1,2)d，
＝10×5 000＋45×400＝68 000(m)，
故李强10天一共跑了68 000 m.
【例3】 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( )
A．130 B．170
C．210D．260
(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋2,n＋3)，则eq \f(a5,b5)＝________.
(1)C (2)eq \f(5,3) [(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210.
(2)由等差数列的性质，知
eq \f(a5,b5)＝eq \f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq \f(\f(a1＋a9,2)×9,\f(b1＋b9,2)×9)＝eq \f(S9,T9)＝eq \f(2×9＋2,9＋3)＝eq \f(5,3).]
巧妙应用等差数列前n项和的性质
(1)“片段和”性质．
若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．
(2)项数(下标)的“等和”性质．
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(nam＋an－m＋1,2).
(3)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；
S偶－S奇＝nd；eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
(4)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，
则Sm＋n＝－(m＋n)．
(5)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
3．(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( )
A．9B．12
C．16D．17
(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和为________．
(1)A (2)75 [(1)由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝eq \f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n，
所以eq \f(Sn,n)＝n＋2，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和为3×10＋eq \f(10×9,2)×1＝75.]
[探究问题]
1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．
[提示] (1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4.
(2)Sn＝n2－3n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)，因为n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2.
2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？
(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．
[提示] (1)前5项的和S5最大．
(2)因为a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6.
3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？
[提示] S10＝eq \f(1,2)×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，因为d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．
【例4】 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋9d＝18，,5a1＋\f(5×4,2)×d＝－15，))
得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.
(2)法一：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(1,2)(3n2－21n)
＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－eq \f(147,8)，
∴当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
法二：设Sn最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n－12≤0，,3n＋1－12≥0，))解得3≤n≤4，
又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18.
1．(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
[解] S5＝eq \f(1,2)×5×(a1＋a5)＝eq \f(1,2)×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n.
设Sn最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0，))解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.
2．(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n.
[解] 法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝eq \f(7,2)，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.
法二：因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝eq \f(1,2)×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.

等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．
(2)利用Sn：由Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值．
(3)利用二次函数的图像的对称性．
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d较好．
2．数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
3．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1<0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1>0))时，Sn取得最小值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．( )
(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．
2．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( )
A．12 B．24
C．36D．48
B [S10＝eq \f(1,2)×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(11,13)，则公差d＝________.
2 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝120，,\f(S奇,S偶)＝\f(11,13)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝55，,S偶＝65，))所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.]
4．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
[解] (1)由已知条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58，,a4＋a9＝2a1＋11d＝50，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝4，))
S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)×d＝10×3＋45×4＝210.
(2)S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝42，所以a4＝6.
所以Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na4＋an－3,2)＝eq \f(n6＋45,2)＝510，
所以n＝20.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)
2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)
3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)
1.通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养．
2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养.
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
与Sn有关的基本量的运算
等差数列前n项和公
式在实际中的应用
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的最值