高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和习题ppt课件

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§2　等差数列2.2　等差数列的前n项和第2课时　等差数列习题课
1．会利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an.2．会使用裂项相消法求数列的前n项和．3．掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和的计算方法．1．等差数列前n项和公式Sn求an.培养数学运算素养．2．借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想象素养.
已知数列的前n项和Sn，若a1适合an，则通项公式an＝___________，若a1不适合an，则________________________.
练一练：若数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，则{an}的通项公式是an＝___________. [解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－7n)－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8，而a1＝S1＝－6，也符合上式，所以an＝2n－8.
　　　　　(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　)A．7　　　　　 B．8　　　　　 C．9　　　　　 D．17
[分析]　(1)求a4⇒Sn＝n2－1⇒a4＝S4－S3.(3)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，消去式中an，得到Sn的递推关系⇒{Sn}的通项公式⇒an.
[解析]　(1)a4＝S4－S3＝42－1－32＋1＝7.
(3)因为an＋2Sn·Sn－1＝0，所以an＝－2Sn·Sn－1.
[规律方法]　1.由Sn求通项公式an的步骤：第一步：令n＝1，则a1＝S1，求得a1；第二步：令n≥2，则an＝Sn－Sn－1；第三步：验证a1与an的关系；(1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1.
2．Sn与an的关系式的应用(1)“和”变“项”．首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式．(2)“项”变“和”．首先将an转化为Sn－Sn－1，得到Sn与Sn－1的关系式，然后求Sn.
　　　　　　　　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a8＝(　　)A．64 B．128C．32 D．216A．72 B．80C．90 D．82(3)设数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋1，那么此数列的通项公式an＝__________________.
[解析]　(1)an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又S1＝21＝2，a1＝21－1＝1.不符．
(3)由题意知，当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，Sn＝－n2＋1①，Sn－1＝－(n－1)2＋1②所以①－②，得an＝Sn－Sn－1＝－2n＋1.∵a1＝0不适合an＝－2n＋1.
[分析]　首先化简{an}的通项公式，求出bn后再利用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
(3)规律发现：一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组观察消去项、保留项．
(2)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5与a7的等差中项为13，{an}的前n项和为Sn.①求an以及Sn；
　　　　　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设等差数列的公差为d，所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.
当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98；
[规律方法]　已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点；第二步，求和，①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加．
　　　　　　　　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－10n.(1)求an；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.[解析]　(1)①当n＝1时，a1＝S1＝－9；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10n－10＝2n－11，对n＝1也成立，所以an＝2n－11(n∈N*)；
(2)当1≤n≤5时，an<0，即Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝10n－n2.当n≥6时，an>0，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)＝－S5＋Sn－S5＝n2－10n＋50，
裂项求和要找准相加相消的规律
[误区警示]　错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．
[点评]　运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误．
1．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12的值为(　　)A．100 B．99 C．120 D．130[解析]　a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－72－7－1＝100.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)A．12 B．16 C．9 D．16或9[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180得n<13且n∈N*，由n边形内角和定理得，解得n＝16或n＝9，∵n<13，∴n＝9.
3．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为(　　)A．a3＋a5 B．a2＋2a10C．a20＋d D．a12＋a9