高中第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案

这是一份高中第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案，共14页。
2.5 椭圆及其方程
2.5.1　椭圆的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题．
学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.要通过实际操作理解并熟练掌握椭圆的定义；2.利用图形的形象直观性，把握a，b，c的几何意义；3.要通过范例的学习与适度的练习，熟练掌握求椭圆标准方程的基本方法：待定系数法、定义法、直接法等．
教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导.




1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空.1997年2月至3月间许多人目睹了这一天文现象．你知道科学家是如何计算出彗星出现的准确时间吗？

知识点一　椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


焦距
|F1F2|＝2c
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

1．对椭圆定义的理解
设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a.
(1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆．
(2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
(3)当2ab>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)；
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　)
(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　)
(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　)
(4)设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
(2)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝8，则|AB|＝________.
(3)若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________.
答案　(1)18　(2)4　(3)



题型一 椭圆的定义
例1　如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．

(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解]　(1)如题图，由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.
所以△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，与AB和x轴是否垂直无关．

1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
3．椭圆的标准方程中应注意的几个问题

(1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
(2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．
(3)方程Ax2＋By2＝C表示椭圆的充要条件：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B.A>B时，焦点在y轴上；A0)，
依题意，知解得
∵a2＝b>0)．
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意，得解得
∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1.

1．椭圆标准方程的两种求法
(1)定义法：定义是研究椭圆问题的基础，先根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，再写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法
①先设出椭圆的标准方程＋＝1或＋＝1(a>b>0)，然后求出待定的系数代入方程即可．
②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
③与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)，与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)．
2．求椭圆标准方程的关注点
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面．
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为
原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．

[跟踪训练2]　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点；
(2)过点Q(2,1)，且与椭圆＋＝1有公共的焦点．
解　(1)易知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义，知2a＝＋
＝2，
所以a＝.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由＋＝1，得c2＝5，则a2－b2＝5.①
又点Q(2,1)在所求椭圆上，所以＋＝1，②
由①②得a2＝＋5，b2＝，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 利用椭圆的定义求轨迹方程
例3　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于20，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝12，
因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝12；但点A不在x轴上．由a＝6，c＝4，得b2＝a2－c2＝36－16＝20.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的特点，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是利用定义求椭圆标准方程的方法，但注意检验．

[跟踪训练3]　已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程．
解　如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4,0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.

设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件可得|CC1|＝r1－r.①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件可得|CC2|＝r2＋r.②
由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．
由题意，得c＝4，a＝8，
所以b2＝a2－c2＝64－16＝48.
所以椭圆的方程为＋＝1，
所以动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为＋＝1.



1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.故选D.
2．“2