2.7全等模型（2）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学假衔接教材（人教版） 试卷

❊2.6 全等模型（2）

已知正方形中，，且的两边分别交、于点、．试猜想线

段、和之间的数量关系，写出猜想，并加以证明．

【分析】延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出，从而得到．

【解答】解：．

理由：如图，延长至使得，连接，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

．

已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．

（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；

（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是_________；

（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

【分析】（1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可；

（2）证法与（1）类似，延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可；

（3）在上截取，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可．

【解答】（1）证明：如图1，过作于，

四边形是正方形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，，

，

，，

，

，，

，

即，

；

（2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下：

延长至，使得，连接，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

在和中

，

，

，

，

，

故答案为：；

（3），理由如下：

如图3，在上截取，连接，

由（1）知，

，，

，

，

．

在和中，

，

，

，

即，

．

（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析

【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；

（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证

，再证，最后根据边的关系即可证明；

【详解】解：（1）

证明：延长到，使得

     连接

     ∵四边形是正方形

     ∴，

     又∵

     ∴

     ∴，

     ∵

     ∴

    ∴

    又∵

    ∴

    ∴

    又∵

    ∴

（2）

证明：延长到，使得

     连接

     ∵，

     ∴

     又∵，

     ∴

     ∴，

     ∵

     ∴

    ∴

    又∵

    ∴

    ∴

    又∵

    ∴

（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；

（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析

【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；

（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．

【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.

又∵，，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）解：结论不成立，应当是，

理由：如图②，在上截取，使，连接，

∵，，

∴，

又∵，，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∵，

∴．

已知：如图1，在和中，，，．

（1）请说明．

（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．

【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；

(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；

【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，

∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，

即∠CAB =∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（AAS），

（2）∵△ABC≌△ADE ，

∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，

在△MND和△ANB中，

∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，

∠CBA +∠ANB +∠DAB =，

又∵ ∠MND=∠ANB，

∴ ∠DAB=∠DMB=，

∴∠CAE =∠DAB=，

∵AC=AE，

∴∠ACE =∠AEC=，

∴∠ACE =，

如图，在和中，，，若．

（1）求证：．

（2）求的度数．

【分析】（1）先，，得到，然后得证，从而得到；

（2）先由得到，从而得到，然后由，得到是等边三角形，从而得到，最后得到的度数．

【解答】（1）证明：，

，

在和中，

，

，

．

（2）解：，

，

，，

，

，，

是等边三角形，

，

．

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系， 并给予证明．

【答案】EC=BF，EC⊥BF，理由详见解析

【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出EC=BF，再利用角度之间的转化可得∠BMD=90°，即可证明EC⊥BF．

【详解】解：EC=BF， EC⊥BF

证明如下：∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF，∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

如图，和都是等边三角形．

（1）如图1，线段与是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．

（2）如图1，若、、三点在一条直线上，与交于点，求的度数．

【解答】解：（1），理由如下：

和都是等边三角形．

，，，

，

，

；

（2）由得，，

，

的度数是；

如图，为线段上一动点（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，，、交于点．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）

【解答】解：，

，即，

在和中，

，

，

，故①正确；

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，故②正确；

，，，

，

，

，

，

，故③正确；

如图，连接，过点作于，于，

，

，，

，

，

，，

平分，故④正确，

故答案为：①②③④．

如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，

BD交于点M，连接OM．下列结论：

①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是________．

解：∵∠AOB=∠COD=36°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，

即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；

∵∠OAC=∠OBD，

由三角形的外角性质得：

∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，

∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；

法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA=∠OHB=90°，

∵△AOC≌△BOD，

∴OG=OH，

∴MO平分∠AMD，故④正确；

法二：∵△AOC≌△BOD，

∴∠OAC=∠OBD，

∴A、B、M、O四点共圆，

∴∠AMO=∠ABO=72°，

同理可得：D、C、M、O四点共圆，

∴∠DMO=∠DCO=72°=∠AMO，

∴MO平分∠AMD，

故④正确；

假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，

在△AMO与△DMO中，

，

∴△AMO≌△DMO（ASA），

∴AO=OD，

∵OC=OD，

∴OA=OC，

而OA＜OC，故③错误；

如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的结论有________.

【答案】①③④

【解答】解：，

，即，

在和中，

，

，

，所以①正确；

，

而与不确定相等，

与不确定相等，

和都是等腰直角三角形，

，

，

，

与不确定相等，所以②错误；

，

而，，

，

，所以③正确；

过点作于，于，如图，

，

，

平分，所以④正确．

1.如图，在正方形ABCD中，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE=45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由．

【答案】EF=BE+DF，见解析.

【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠FAH=90°，由“SAS”可证△FAE≌△HAE，可得EF=HE=BE＋DF．

【详解】解：EF=BE+DF．

理由如下：

如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，

∴△ADF≌△ABH，

∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，

∴∠FAH=90°，

∴∠EAF=∠EAH=45°，

∵AF=AH，∠FAE=∠HAE，AE=AE

∴△FAE≌△HAE（SAS），

∴EF=HE

∴EF=HE=BE+HB，

∴EF=BE+DF．

2.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．

（1）当绕点旋转到（如图时，求证：；

（2）当绕点旋转到如图2的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）

【分析】（1）在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论；

（2）在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到．

【解答】解：（1）猜想：，

证明如下：

如图1，在的延长线上，截取，连接，

在和中，，

，

，，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

又，

；

（2）．

证明如下：

如图2，在上截取，连接，

和中，，

，

，，

，即，

，

，

在和中，

，

，

，

．

3.如图，，都是等边三角形，则的度数是（    ）

解：，都是等边三角形，

，，，，

，，

，，

，的度数是

故选：．

4.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有（　　）

解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，

∴AC=DC，BC=CE，∠ACE=∠BCD，

∴△ACE≌△DCB，①正确

由①得∠AEC=∠CBD，

∴△BCN≌△ECM，

∴CM=CN，②正确

假使AC=DN，即CD=CN，△CDN为等边三角形，∠CDB=60°，

又∵∠ACD=∠CDB+∠DBC=60°，

∴假设不成立，③错误；

∵∠DBC+∠CDB=60°∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，

∴∠DAE=∠DBC，④正确，

∴正确答案①②④  故选：C．

5.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上一点，且DE=CE，连接BD，CD．

（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；

（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；

（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

【答案】（1）， ；（2）， ；（3）．

【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．

理由如下：如图1，延长交于点．

于，

．

，，

，

，，．

，

．

AE⊥BC

∴，

，

．

（2）与的位置关系是：，数量关系是．

如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，

，

，

即．

，，

，

，．

AE⊥BC

∴，

又∵

，

．

（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，

和是等边三角形，

，，，，

，

，

在和中，

，

∴，

，

与的夹角度数为．