初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形精品练习题

❊2.3 全等三角形的判定（2）

如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（　　）

【答案】C

【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解．

【详解】解：补充条件，

在与中

∴，

故选：C．

如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是_________．

【分析】利用ASA定理添加条件即可．

【解答】解：还需添加的条件是∠B=∠D，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

故答案为：∠B=∠D．

如图，，若利用“”判定，则需要添加的一个直接条件是（　　）

【答案】D

【分析】找到根据“”判定需要的条件，作出证明即可．

【详解】解：还需添加的条件是，理由是：

在和中，

，

∴，

故选：D．

如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　）

【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．

【解答】解：需要补充的条件是∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

故选：B．

如图，点A、、B、在同一条直线上，若，，求证：．

【答案】见解析

【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．

【详解】证明：，

，即，

在和中，

，

，

．

如图，在中，为边上一点，，．求证：．

【答案】证明见解析

【分析】由三角形外角的性质及可得到，再结合图形并利用恒等变换可得到，最后利用即可得证．

【详解】证明：∵，

即，

∵，

∴，

∵，

∴    ，

∴，

在和中，

，

∴．

如图，在中，，，连接，E为边上一点，，求证：．

【答案】证明见解析

【分析】根据，得到，利用即可得证．

【详解】证朋：，

，

，，

．

在和中，，，，求证：．

【答案】见解析

【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证．

【详解】证明：，

，即，

在和中，

，

，

．

如图，，点D在边上，．求证：．

【答案】见解析

【分析】由三角形的外角的性质可得，由“”可证．

【详解】证明：，且，

，且，，

在和中，

，

≌．

如图，，，点在边上，，，相交于点．求证：．

【答案】证明见解析

【分析】欲证明，只要证明即可．

【详解】证明：∵，且，

∴，

又∵，，

∴

∴．

如图，在中，，，点是内部一点，连结，作，，垂足分别为点D，E．

（1）求证：；

（2）若，，则的长是______．

【答案】(1)见解析

(2)7

【分析】（1）由“AAS”可证；

（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．

【详解】（1）证明：，，

，

．

，

，

在和中，

，

；（AAS）

（2）解：，

，，

．

故答案为：7．

如图，已知，点B，C，D在一条直线上，，，，与全等吗？为什么？

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质得出，求出，，再根据全等三角形的判定定理即可得出结论．

【详解】，理由如下：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

在与中

∴（ASA）

如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_________.

【答案】BD=BC（或AD=AC）

【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD=BC或AD=AC后可判定三角形全等．

【详解】解：∵∠C=∠D，AB=AB，

∴添加BD=BC或AD=AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD

故答案为：BD=BC（或AD=AC）．

如图，∠C=∠D=90°，添加下列条件：①AC=AD；②∠ABC=∠ABD；③BC=BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　）

【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．

【解答】解：①当AC=AD时，由∠C=∠D=90°，AC=AD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；

②当∠ABC=∠ABD时，由∠C=∠D=90°，∠ABC=∠ABD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；

③当BC=BD时，由∠C=∠D=90°，BC=BD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；

故选：D．

如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是_________．

【答案】AD=CB（答案不唯一）

【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDB=90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等．

【详解】解：需要添加的条件是AD=CB．

理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABD=∠CDB=90°．

在Rt△ABD和Rt△CDB中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），

故答案为：AD=CB．

如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）

【答案】D

【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．

【详解】解：∵，，

∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．

故选：D．

如图，，，垂足分别为、，，．求证：．

【答案】见解析

【分析】求出，，根据证明即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，即，

在和中，，

∴．

即．

如图，∠A=∠D=90°，BC=EF，AE=CD，求证：∠BCE=∠FED．

【答案】见详解

【分析】根据HL证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】证明：如图所示，

∵AE=CD，

∴AE＋EC=CD＋EC，

∴AC=ED

在和中，

∵

∴，

∴∠BCE=∠FED

已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB=CD，AC=CF，求证：AC⊥FC．

【答案】见解析

【分析】根据BA⊥BD，FD⊥BD，，再根据条件证明出，得出，得出，即可得到．

【详解】解：BA⊥BD，FD⊥BD，

，

AB=CD，AC=CF，

，

，

，

，

，

．

如图（1），，，点C是上一点，且，．

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．

【答案】(1)，理由见解析

(2)成立，理由见解析

【分析】（1）根据条件证明就得出，就可以得出；

（2）根据可以得出，从而得出结论．

【详解】（1）解：，理由如下，

理由：∵，，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，．求证：

（1）；

（2）．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质和三角形内角和定理可求，即可得证．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

在和中，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

如图，在中，，，，为延长线上一点，点在上，且．

（1）求证：；

（2）求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用证明即可；

（2）延长交于点，利用全等三角形的性质，以及对顶角相等，得到，得到，即可得证．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴，

∵，，

∴（）；

（2）证明：延长交于点，则：，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

如图，，垂足分别为D，E，相交于点O．如果．求证：平分．

【答案】见解析

【分析】先由，，得到，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再证明得到，即可证明平分．

【详解】证明：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴在和中，

，

∴ ，

∴，

∴平分．

如图，四边形中，，于点E，于点F，．求证：．

【答案】答案见解析

【分析】先根据证明，得，再根据证明，即可得答案．

【详解】解：如下图，连接，

∵，，

，

在和中，

，

，

在和中，

，

．

1.已知：如图，是上一点，，，．求证：．

【答案】见解析

【分析】由，得，由，结合三角形外角，可得，进而可证，即可证得．

【详解】证明：∵，

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴．

2.如图，中，，，是上一点，交的延长线于，于．

（1）求证：；

（2）若，，直接写出的长度．

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】（1）根据可以证明；

（2）根据可得对应边相等，即可求出的长度．

【详解】（1）证明：．

．

，．

．

．

．

同角的余角相等，

在和中，

，

∴；

（2）∵，

，，

．

3.已知：如图所示，和有共同的顶点A，，，．

求证：．

【答案】详见解析

【分析】先证，然后利用判定定理即可得出结论．

【详解】证明：，

∴

，

在和中，

∴．

4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．

（1）∠DBH=∠DAC；

（2）△BDH≌△ADC．

【分析】（1）因为∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°，所以∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°，故∠DBH=∠DAC；

（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC，又因为AD=BD，∠DBH=∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．

【解答】解：（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°

∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°

∴∠DBH=∠HAE

∵∠HAE=∠DAC

∴∠DBH=∠DAC；

（2）∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADC

在△BDH与△ADC中，

∴△BDH≌△ADC．

5.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件：_________．

【答案】或BE=CF

【分析】根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，即可求解．

【详解】解：∵，

∴和都是直角三角形，

可以补充：，理由如下：

在和中，

∵，，

∴；

可以补充：BE=CF，理由如下：

∵BE=CF，

∴，

在和中，

∵，，

∴；

故答案为：或BE=CF．

6.如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：．

【答案】见解析

【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论．

【详解】证明：∵DE=BF，

∴DE+EF=BF+EF；

∴DF=BE；

在Rt△ADF和Rt△BCE中

，

∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），

∴∠B=∠D，

∴．

7.如图，在中，于点D，E为上一点，交于点F，若有，，试探究与的位置关系．

【答案】

【分析】根据“”证明，得出，证明，即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴．

8如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；

（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．

【分析】（1）由∠1=∠2，可得DE=CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；

（2）由∠1=∠2，可得DE=CE，再根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出．

【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：

∵∠1=∠2，

∴DE=CE，

而∠A=∠B=90°，AE=BC

∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，

DE=CE，AE=BC，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；

（2）结论：DE=CE且DE⊥CE，

理由如下：

∵∠1=∠2

∴DE=CE，

∵Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，

又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，

∴2（∠AED+∠BEC）=180°，

∴∠AED+∠BEC=90°，

∴∠DEC=90°，

∴DE⊥CE．

9.如图，，，于，于，，求证：点是的中点．

【答案】见解析

【分析】由直角三角形全等的“”判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“”判定定理即可证得，即可得到结论．

【详解】证明：，

在和中，

，

，

，

于，于，

，

在和中，

，

，

，

点是的中点．

10.如图，于点，于点，，交于点M．

（1）求证：；

（2）求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．

【详解】（1）解：证明：，

，

即，

于点，于点，

和是直角三角形，

在和中，

，

，

；

（2），

在和中，

，

，

．