新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3平面与平面平行素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.5　8.5.3

A组·素养自测

一、选择题

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(　A　)

A．AC∥截面BA1C1　　　　　   B．AC与截面BA1C1相交

C．AC在截面BA1C1内   D．以上答案都错误

[解析]　∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，A1C1⊂平面BA1C1

∴AC∥面BA1C1．

2．平面α与平面β平行的充分条件可以是(　D　)

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线分别与平面β平行

C．平面α内有无数条直线分别与平面β平行

D．平面α内有两条相交直线分别与平面β平行

[解析]　若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确．故选D．

3．(2022·泰安高一检测)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　D　)

[解析]　由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图：截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确，故选D．

4．平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，则“直线AC∥直线BD”的充要条件是(　D　)

A．AB∥CD B．AD∥CB

C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面

[解析]　若直线AC∥直线BD，则AB与CD平行或相交，AD与BC平行或相交，ABC选项都不满足要求；若直线AC∥直线BD，则A，B，C，D四点共面，即“直线AC∥直线BD”⇒“A，B，C，D四点共面”；若A，B，C，D四点共面，设这四点确定的平面为γ，因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝AC，平面β∩平面γ＝BD，由面面平行的性质可得AC∥BD，即“直线AC∥直线BD”⇐“A，B，C，D四点共面”．因此，“直线AC∥直线BD”的充要条件是“A，B，C，D四点共面”．故选D．

5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为(　D　)

A．2∶5 B．3∶8

C．4∶9 D．4∶25

[解析]　∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB．

又∵PA′∶AA′＝2∶3，

∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5．同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5．∴△A′B′C′与△ABC相似，

∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25．

二、填空题

6．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”)．

[解析]　假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a．故α∥β．

7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝____．

[解析]　∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝AC，即＝．

8．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB∩CD＝S，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝__9__．

[解析]　根据题意可作图如下：

因为直线AB∩CD＝S，故可设它们确定的平面为r，

则r和α的交线为AC，和β的交线为BD，

因为α∥β ，故AC∥BD，

故＝，即＝，则SD＝9．故答案为9．

三、解答题

9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE．

[解析]　因为F为CD的中点，H为PD的中点，

所以FH∥PC，又由于FH⊄平面PCE，PC⊂平面PCE，所以FH∥平面PCE．

又AE∥CF且AE＝CF，

所以四边形AECF为平行四边形，

所以AF∥CE，又由于AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE．

由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，

所以平面AFH∥平面PCE．

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

[解析]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴QB∥PA．而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，

∴QB∥平面PAO．

连接DB，∵P、O分别为DD1，DB的中点，

∴PO为△DBD1的中位线，

∴D1B∥PO．

而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，

∴D1B∥平面PAO．

又D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO．

B组·素养提升

一、选择题

1．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，

由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，

所以梯形的高为，

所以梯形的面积为(＋2)×＝．

2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是(　D　)

A．0 B．2

C．4 D．6

[解析]　连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，AB′⊂平面AB′D′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′．故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D．

3．(多选题)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，则下列推理正确的是(　AD　)

A．a∥c，b∥c⇒a∥b B．a∥γ，b∥γ⇒a∥b

C．α∥c，β∥c⇒α∥β D．α∥γ，β∥γ⇒α∥β

[解析]　A平行公理．B两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．C两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．D面面平行传递性．故AD正确．

4．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(　ACD　)

A．AE∥平面C1BD

B．四面体ACEF的体积不为定值

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．四面体ACDF的体积为定值

[解析]　对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；

对于B，如图2，S△AEF＝EF·h1＝×1×＝，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝××d＝d为定值，所以B错误；

对于C，如图3，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VA－BEF＝××d＝d为定值，C正确；

对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA－CDF＝VF－ACD＝××3×3×3＝为定值，D正确．故选ACD．

二、填空题

5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②BC∥平面PAD；

③AB∥平面PCD；

④平面PAD∥平面PAB．

其中正确的有__①②③__．(填序号)

[解析]　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．同理平面BC∥PAD．

6．已知平面α上有n个点，且任意三点都不共线，若“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为__5__．

[解析]　因为不在同一条直线上的三点确定一个平面，所以至少有三个点，当有三个点时，若在平面β的异侧，则不成立；当有四个点时，若在平面β的异侧，也不成立，当有五个点时，则至少有三个点在平面β的同侧，成立，所以，“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5．故答案为5．

三、解答题

7．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E．

求证：EC∥A1D．

[解析]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，

所以BE∥平面AA1D．

因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，

所以BC∥平面AA1D．

又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA1D．

又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．

8．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D．

[解析]　如图所示，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD．

∵BD⊂平面BB′D′D，HN⊄平面BB′D′D，

∴HN∥平面BB′D′D．连接HF，则HF∥DD′，

∵DD′⊂平面BB′D′D，HF⊄平面BB′D′D，

∴HF∥平面BB′D′D．

又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，

∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．