2021-2022学年人教A版2019 必修2 第八章 立体几何初步 单元测试卷（word版含答案）

2021-2022学年必修2 第八章 立体几何初步  单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)

1.已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（    ）

A. B. C. D.

2.设l是直线，，是两个不同的平面(   )

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

3.已知直线a和平面，那么能得出的一个条件是(   )

A.存在一条直线b，且 B.存在一条直线b，且

C.存在一个平面，且 D.存在一个平面，且

4.正方体中，P，Q，R分别是AB，AD，的中点，那么正方体中过P，Q，R的截面图形是(   )

A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(   )

A.π B. C. D.

6.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为(   )

A. B. C. D.

7.用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中(   )

A.45° B.135° C.45°或135° D.90°

8.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为(   )

A. B.3 C.12 D.36

二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)

9.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即，则下列结论正确的是(   )
A.四面体ABCD每组对棱相互垂直
B.四面体ABCD每个面的面积相等
C.从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°
D.连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分

10.在正方体中,下列各式中运算结果为的是(   )

A. B. C. D.

三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)

11.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.

12.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________.

13.给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线，②球的直径是球面上任意两点的连线；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示.其中说法正确的是____________.

14.已知正方体的棱长为1，点P为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为______.

15.在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为_________

四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)

16.如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.

(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数；

(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.

17.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.

18.如图8-53,在四棱锥中,平面,底面为菱形,为的中点。

(1)求证：平面；

(2)若,求证：平面平面；

(3)棱上是否存在点,使得平面?说明理由。

19.如图8-44,在直三棱柱中,分别为的中点,。

求证：

(1)平面；

(2)。

参考答案

1.答案：A

解析：由题意可得，

且，

解得.

故选：A

2.答案：B

解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.

3.答案：C

解析：在选项A，B，D中，均有可能a在平面内，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确.

4.答案：D

解析：由已知的三点P，Q，R，确定截面的一条边PQ，延长PQ交BC的延长线于一点，连接该点与点R即可得到与棱的交点M，利用基本事实3确定交线RM，PM，同样的方法找出其他交线，即可得到截面PONSRM如图所示.故选D.

5.答案：B

解析：由圆柱的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，知球的直径为2，因此球的半径.因为圆柱的高，所以圆柱的底面半径为.由圆柱体的体积公式得.故选B.

6.答案：C

解析：如图，设，O分别为上、下底面的中心，D，分别是AC，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..

7.答案：C

解析：在画直观图时，的两边分别平行于轴、轴，所以或135°.

8.答案：B

解析：轴截面如图所示，设截去的小圆锥的母线长为y，

根据相似三角形的性质，得，

解得.故选B.

9.答案：BD

解析：对于A选项，由题易得四而体ABCD可放入一个长方体中，连接，如图（1）.若四面体ABCD每组对棱相互垂直，不妨设，根据长方体的性质有，则矩形为正方形，这不一定成立，故A错误.对于B选项，因为该四面体每组对边均相等，故四个面的三角形三边分别相等，即四个面为全等三角形，故四面体ABCD每个面的面积相等，故B正确.对于C选项，若四面体ABCD为正四面体，则从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角均为60°，则和为180°，故C错误.对于D选项，设H，I，J,K,J,M分别为AD,BC,BD,AC，AB,CD的中点，连接HI,LM,KJ.根据长方体的性质可知，线段HI,LM, KJ相互垂直平分且交于长方体的中心O，故D正确.综上，BD正确.故选BD.
 

10.答案：ABCD

解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质,逐一进行判断：A中,；B中,；C中,；D中,.故选ABCD.

11.答案：

解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.

12.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm

解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.

13.答案：①③④

解析：根据球的定义直接判断①正确；②错误；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆：可能是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.

14.答案：

解析：不妨令点P在棱上，设，则，由勾股定理可得

，

其几何意义为x轴上一动点（）到两定点与的距离之和.其最小值即为到的距离，即.

又由平面几何知识知，当的最大值在或处取得，

当时，；当时，.

故的取值范围为.

15.答案：

解析：将正三棱柱上底面沿展开至平面上，如图所示，因为，且，所以，所以的最小值为.

16.答案：(1)

(2)这根绳子的最短长度是.

解析：(1)圆锥的高为，

底面圆的周长等于，

解得.

(2)连接AC，过B作于D，

则.

由，可求得，

，

，

即这根绳子的最短长度是.

17.答案：如图所示.在三棱台中,,O分别为上、下底面的中心,D,分别是BC,的中点, 连接,,AD,,则点O,分别在AD,上，是等腰梯形的高，记为，所以.
上、下底面面积之和为.
由，得，所以.
又，，
记棱台的高为h，则,
由棱台的体积公式，可得棱台的体积

 

.
 

解析：

18.答案：(1)底面为菱形,,又平面平面,

又平面平面。

(2)底面为菱形,,

,

是等边三角形。

又为的中点,。。

平面平面。

平面平面。

平面平面平面。

(3)棱上存在点,使得平面。

取为的中点,取为的中点,连接。

则,且。

底面为菱形,且为的中点,,且。,且。四边形为平行四边形。。平面平面。

平面。

解析：

19.答案：(1)因为分别为的中点,所以。

在直三棱柱中,,所以。

又因为平面平面,所以平面。

(2)因为为的中点,

所以。

因为三棱锥是直三棱锥,

所以平面。

又因为平面,所以。

因为平面平面。

所以平面。

因为平面,所以。

解析：