新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.6　8.6.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(　B　)

A．(0°，90°)　　　　　　　　 B．[0°，90°]

C．(0°，90°] D．[0°，180°]

[解析]　由线面角的定义知B正确．

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　B　)

A．1　　　　　 B．2　　　　　

C．3　　　　　 D．6

[解析]　仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．

3．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　BD　)

[解析]　对于A，由AD∥CE，且AB与CE成45°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由于AB⊥DE，AB⊥CE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE；对于C，AB与CE成60°的角，不垂

直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE．

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为(　D　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD．

⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB

由⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD．

∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．

5．(多选题)如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是(　BCD　)

A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF

[解析]　∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，∴AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；

∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA＝A，

∴DF⊥平面PAF，故B正确；

由正六边形的性质可知，CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；

∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确．故选BCD．

二、填空题

6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则正确结论为__④__．

①直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1

②直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D

③直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1

④直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C

[解析]　对于①，因为B∈平面DD1B1B，M∉平面DD1B1B，D1B1⊂平面DD1B1B，所以直线MB与直线B1D1为异面直线，故错误；

对于②，因为A1B∥D1C，A1B∩BM＝B，所以直线MB与直线D1C不平行，故错误；

对于③，直线MB与直线AC异面，若直线MB⊥平面ADC1B1，则直线MB⊥BC，因为CB⊥平面ABA1B1，所以直线MB⊂平面ABB1A1，这与M∉平面ABB1A1矛盾，故错误；

对于④，设正方体的棱长为2，则A1M＝，A1B＝2，BM＝＝，

所以A1B2＝A1M2＋BM2，所以直线MB与直线A1D垂直，

连接A1B、BD，在正方体中，BD∥D1B1，BD⊄平面D1B1C，B1D1⊂平面D1B1C，

所以BD∥平面D1B1C，A1B∥D1C，A1B⊄平面D1B1C，CD1⊂平面D1B1C，

所以A1B∥平面D1B1C，又A1B∩BD＝B，所以平面D1B1C∥平面A1BD, MB⊂平面A1BD，所以直线MB∥平面B1D1C，故正确．

故答案为④．

7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为____．

[解析]　如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝．

8．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__外心__．(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)

[解析]　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．

三、解答题

9．如图所示，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2．F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB．求证：PB⊥平面CEF．

[解析]　在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝，

∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，

又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF．

又EF⊥PB，EF∩CF＝F，

∴PB⊥平面CEF．

10．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．

(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；

(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

[解析]　(1)证明：直三棱柱

ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1．

(2)连接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1，

则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．

在Rt△AC1D中，AD＝，AC1＝，sin ∠AC1D＝＝，

即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．

B组·素养提升

一、选择题

1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　C　)

A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交

[解析]　取BD中点O，连接AO、CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，

∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，

又BD、AC异面，∴选C．

2．(多选题)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　ABC　)

A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC

C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC

[解析]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；

由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，

又PA＝AB，D是PB的中点，

∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；

由AD⊥平面PBC，∴C正确，故选ABC．

3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(　C　)

A．外心 B．内心

C．垂心 D．重心

[解析]　∵PC⊥PA，PC⊥PB，

PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．

又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．

又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH．

又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH．

同理BC⊥AH，AC⊥BH．∴H为△ABC的垂心．

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　C　)

A．8 B．6

C．8 D．8

[解析]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，

根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，

因为AB＝2，所以BC1＝2，从而求得CC1＝2，

所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8，故选C．

二、填空题

5．三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，O是垂足，若点P到AB，BC，AC的距离相等，则O是三角形ABC的__内__心．

[解析]　由于点P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，易得点O到边AB，BC，AC的距离相等，故点O是三角形ABC的内心．

6．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__[2，＋∞)__．

[解析]　因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，∴PA⊥QD．

又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，

∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD．

①当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；

②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；

③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD．

三、解答题

7．如图，在锥体P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．

求证：AD⊥平面DEF．

[解析]　取AD的中点G，连接PG，BG．因为PA＝PD，

所以AD⊥PG．

设菱形ABCD边长为1．

在△ABG中，因为∠GAB＝60°，AG＝，AB＝1，

所以∠AGB＝90°，即AD⊥GB．

又PG∩GB＝G，所以AD⊥平面PGB，

从而AD⊥PB．

因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF∥PB，从而AD⊥EF．

易证DE∥GB，且AD⊥GB，

所以AD⊥DE，因为DE∩EF＝E，

所以AD⊥平面DEF．

8．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F．

[解析]　当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．

连接A1B、CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，

又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，

又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E．

又DD1⊥平面BD，

∴AF⊥DD1．

又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE，

∴AF⊥D1E．

∴D1E⊥平面AB1F．

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．