新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.2直线与平面平行素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.5　8.5.2

A组·素养自测

一、选择题

1．直线l与平面α平行的充要条件是(　D　)

A．直线l上有无数个点不在平面α内

B．直线l与平面α内的一条直线平行

C．直线l与平面α内的无数条直线都平行

D．直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

[解析]　无数个点不是所有的点，所以A不正确；由线面平行的判定定理知，缺少条件直线l在平面α外，所以B不正确；当直线l在平面α内时，满足直线l与平面α内的无数条直线都平行，但直线l与平面α不平行，所以C不正确；由直线与平面平行的定义知D正确．故选D．

2．(2022·哈尔滨高一检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为(　B　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]　①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；

②中，由于A1F∥D1E，而A1F⊄平面BD1E，D1E⊂平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；

③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行．

3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则(　B　)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

[解析]　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，

且EF＝BD，又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，

∴HG∥BD且HG＝BD，

∴EF∥HG且EF≠HG，故选B．

4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　A　)

A．平行 B．相交

C．异面 D．平行或异面

[解析]　由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH．

又∵EF∥AB，∴GH∥AB．

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　B　)

A．MN∥PD B．MN∥PA

C．MN∥AD D．以上均有可能

[解析]　四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，

由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．

二、填空题

6．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__平行__．

[解析]　∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF．又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE．又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．

7．已知直线b，平面α，有以下条件：

①b与α内一条直线平行；

②b与α内所有直线都没有公共点；

③b与α无公共点；

④b不在α内，且与α内的一条直线平行．

其中能推出b∥α的条件有__②③④__．(把你认为正确的序号都填上)

[解析]　①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α．

8．(2022·扬州高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__．

[解析]　∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，

∴AC∥平面A1B1C1D1．

又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，

∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，

∴l∥A1C1．

三、解答题

9．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l．

求证：l∥BC．

[解析]　因为BC∥AD，BC⊄平面PAD．

AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．(如图)

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1．

[解析]　如图所示，连接SB．

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB．

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1．

B组·素养提升

一、选择题

1．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为(　D　)

A．都平行 B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点

[解析]　若l∥平面α，则交线都平行；

若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A．

2．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　B　)

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

[解析]　∵EF⊂平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC．

3．(多选题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　BCD　)

[解析]　B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ．故选BCD．

4．(多选题)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则(　BD　)

A．MF∥NE

B．四边形MNEF为梯形

C．四边形MNEF为平行四边形

D．A1B1∥EF

[解析]　∵在▱AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，

∴AM綊BN，∴MN綊AB．又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故B正确．由A1B1∥MN，可得A1B1∥EF，故D正确．故选BD．

二、填空题

5．如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝__m∶n__．

[解析]　∵AC∥平面EFGH，

∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m．

同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，

∴AE∶EB＝m∶n．

6．如图所示，在四面体ABCD中AB＝CD＝2，直线AB与CD所成角为90°，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都与平面EFGH平行，则四边形EFGH面积的最大值是__1__．

[解析]　∵AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝GH，

∴GH∥AB．同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，

∴四边形EFGH为平行四边形．

又AB⊥CD，故四边形EFGH为矩形，

设＝＝＝x(x∈[0,1])

则FG＝2x，HG＝2(1－x)，

∴S矩形EFGH＝4×x(1－x)＝－42＋1，

故当x＝时四边形EFGH的面积最大为1．

三、解答题

7．如图，在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

求证：BD∥平面FGH．

[解析]　如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH．

在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，

又H为BC的中点，所以OH∥BD．

因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH．

8．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．证明：EF∥B1C．

[解析]　由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D．

又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE．又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．