新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.6　8.6.1

A组·素养自测

一、选择题

1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则直线B′M与CN(　C　)

A．平行 B．相交且垂直

C．异面且垂直 D．异面但不垂直

[解析]　由题意画出图后，直线B′M与CN为异面直线且B′M⊥CN．

2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(　D　)

A．2条 B．4条

C．6条 D．8条

[解析]　在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．

3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为(　C　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]　连接BC1，A1C1(图略)，

因为BC1∥AD1，

所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．

在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，

所以∠A1BC1＝60°．

故异面直线A1B与AD1所成角为60°．

4．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　如图，∠PBC1为直线PB与AD1所成的角(或其补角)

易知△A1BC1为正三角形．

又P为A1C1中点，所以∠PBC1＝．

5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　A　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]　取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，

故选A．

二、填空题

6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)AC和DD1所成的角是__90°__；

(2)AC和D1C1所成的角是__45°__；

(3)AC和B1D1所成的角是__90°__；

(4)AC和A1B所成的角是__60°__．

[解析]　(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°．

(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°．

(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°．

(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°．

7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有__AB，A1B1__．

 [解析]　由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是__0°＜θ≤60°__．

[解析]　如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP．当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°．

三、解答题

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角．

[解析]　连接BC1，A1C1，A1B，如图所示．

根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，

则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．

∵BC1＝A1C1＝A1B，

∴△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°．

10．如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2．求EF的长度．

 [解析]　取BC的中点M，连接ME，MF，如图．则ME∥AC，MF∥BD，

∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，

∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°．

当∠EMF＝60°时，

EF＝ME＝MF＝BD＝1；

当∠EMF＝120°时，

取EF的中点N，则MN⊥EF，

∴EF＝2EN＝2EM·sin ∠EMN＝2×1×＝．

故EF的长度为1或．

B组·素养提升

一、选择题

1．(2022·哈尔滨高一检测)如图，点M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　如图，连接AD1，D1M．因为AB＝C1D1，AB∥D1C1，

所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，设正方体的棱长为2，

则AD1＝2，AM＝D1M＝．

所以cos∠D1AM＝＝．

即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．

2．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是(　C　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

[解析]　如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，

因为AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，

因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°．

3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　C　)

A．60° B．75°

C．90° D．105°

[解析]　解法1：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°．

解法2：补成四棱柱亦得．

4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于(　A　)

A．5 B．6

C．8 D．10

 [解析]　如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，

∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．

二、填空题

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，点N是BB1的中点．

(1)异面直线DB1和CM所成的角的余弦值为____．

(2)异面直线DN和CM所成的角的余弦值为____．

[解析]　(1)将正方体ABCD－A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，连接CE1，ME1．因为DB1∥CE1，

所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)．

设正方体的棱长为a．在三角形MCE1中，

CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，

那么cos∠MCE1＝

＝．

(2)将正方体ABCD－A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，P为所在棱中点，连接CP，MP，DN∥CP，

所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角(或其补角)，

设正方体棱长为a．在三角形MCP中，

CM＝a，CP＝a，MP＝a，

那么cos∠MCP＝＝．

6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为__60°__．

[解析]　依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°．

三、解答题

7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

[解析]　(1)如图所示，连接AC，AB1．

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．

在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，

即A1C1与B1C所成的角为60°．

(2)如图所示，连接BD．由(1)知AC∥A1C1，

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．

∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD．

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，

即A1C1与EF所成的角为90°．

8．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

[解析]　(1)如题图，因为CG∥BF，

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，

所以BE与CG所成的角为45°．

(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．

连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，

所以△AFH为等边三角形，

又知O为AH的中点．

所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．