第8章立体几何初步8.6.3第2课时平面与平面垂直的性质学案含解析

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第2课时　平面与平面垂直的性质知识点　平面与平面垂直的性质定理如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？[提示]　正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βD　[A项中缺少了条件l⊂α，故A错误．B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]2．(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADABC　[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选ABC．] 类型1　面面垂直性质定理的应用【例1】　如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．[证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．eq \o([跟进训练])1．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．[证明]　∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面VAB．又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC． 类型2　线线、线面、面面垂直的综合应用【例2】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示]　垂直问题转化关系如下所示：[解]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a．因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝eq \r(EF2＋DF2)＝eq \r(5)a．又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝eq \r(DB2＋AB2)＝eq \r(5)a，所以DE＝DA．(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNeq \f(1,2)CEDB．所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN．又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD．又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE．又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA．(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．[解]　如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，在△CEN中，由eq \f(BD,CE)＝eq \f(1,2)，知B为CN中点，∴CB＝BN＝2a．∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA．又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线．∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°．所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°．垂直关系的互化及解题策略空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．eq \o([跟进训练])2．如图，M是半圆弧eq \o(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．(1)证明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧eq \o(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC．[证明]　(1)连接AC，交BD于O，因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，因为M为eq \o(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．1．已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))⇒n∥α；②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m⊂α，,n⊂β，,α∥β))⇒m∥n；③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))⇒α∥β，④eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))⇒m∥n．其中正确的命题为________．(填序号)③④　[对于①，会有n⊂α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．]2．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点(不含边界)，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是________．(eq \r(5)，3)　[连接BC1，依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上(不含端点)．AE＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，AF＝eq \r(22＋22＋12)＝3，所以线段AP长度的取值范围是(eq \r(5)，3)．]3．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD．平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE．点F为AD中点，连接EF．求证：平面AED⊥平面ABD．[证明]　取AB中点O，连接OC，OF．∵O，F分别为AB，AD中点，则OF∥BD且BD＝2OF．又∵CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC．∵△ABC为等边三角形，∴OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC∩平面ABD＝AB，∴OC⊥平面ABD．∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF⊂平面AED，∴平面AED⊥平面ABD．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)面面垂直的性质定理的内容是什么？两个平面垂直还具备哪些性质？(2)线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？学 习 任 务核 心 素 养1．掌握平面与平面垂直的性质定理，学会用定理证明垂直关系．(重点)2．熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化．(难点)1．通过学习平面与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2．借助垂直关系的证明，培养数学逻辑推理的核心素养．文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线