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高中数学新教材必修第二册课件PPT 第8章 §8.6 8.6.3 平面与平面垂直
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这是一份高中数学新教材必修第二册课件PPT 第8章 §8.6 8.6.3 平面与平面垂直,共60页。
高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程,新在哪里?1、科目变化:外语语种增加,体育与健康必修。第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化,选课制度将全面推开。5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。8.6.3 平面与平面垂直第八章 §8.6 空间直线、平面的垂直 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法, 会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些 简单的问题.学习目标回顾两条直线的垂直的定义,要先定义角的概念,利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直,因此,定义两平面垂直,我们先从二面角开始.导语随堂演练课时对点练一、二面角的概念二、平面与平面垂直的定义和判定三、平面与平面垂直的性质定理内容索引一、二面角的概念二面角1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.2.画法:3.记法:二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.4.二面角的平面角:(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角,如图.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.例1 (1)从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定√解析 如图所示,过PE,PF作一个平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O,连接OE,OF.因为PE⊥α,PF⊥β,所以PE⊥l,PF⊥l,所以l⊥平面γ,所以l⊥OE,l⊥OF,则∠EOF为α-l-β的平面角,且它与∠EPF相等或互补,故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°,故选C.(2)如图所示,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.解 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.设点H是△BCD的中心,连接AH,则AH⊥平面BCD,且点H在线段BM上.反思感悟 求二面角的平面角的大小的步骤跟踪训练1 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解 由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.二、平面与平面垂直的定义和判定1.平面与平面垂直的定义(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β.(2)画法:2.面面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.例2 如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC.证明 ∵PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB,∴平面PDB⊥平面PAC.反思感悟 证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.跟踪训练2 如图,已知三棱锥S-ABC中,侧棱SA=SB=SC,∠ABC=90°,求证:平面ABC⊥平面ASC.证明 作SH⊥AC交AC于点H,连接BH,∵SA=SC,∴AH=HC.在Rt△ABC中,H是AC的中点,又SH=SH,SA=SB,∴△SAH≌△SBH(SSS),∴SH⊥BH,又AC∩BH=H,AC,BH⊂平面ABC,∴SH⊥平面ABC,又SH⊂平面ASC,∴平面ABC⊥平面ASC.三、平面与平面垂直的性质定理问题 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?由此,你能得到什么样的一般结论呢?提示 找到黑板所在平面与地面所在平面的交线,在黑板上画出和该交线垂直的直线,即垂直于地面.交线垂直a⊂αa⊥l例3 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.证明 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC.求证:BC⊥平面ACD.证明 如题图(1),在梯形ABCD中,AD=CD=2,∠ADC=90°,过C作CE⊥AB,E为垂足,∴四边形AECD为正方形,∴CE=AE=EB=2,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,如题图(2),平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,又BC⊂平面ABC且BC⊥AC,∴BC⊥平面ACD.1.知识清单:(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的定义和判定定理.(3)平面与平面垂直的性质定理.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线,与另一个平面垂直.课堂小结随堂演练1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在√1234解析 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β√1234解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β.3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,二面角D′-AB-D的大小是A.30° B.45° C.60° D.90°√1234解析 如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′,则AB⊥AD,AB⊥AD′,则∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,又因为四边形ADD′A′为正方形,所以∠D′AD=45°,即二面角D′-AB-D的大小是45°,故选B.解析 平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,4.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=_____.1234课时对点练1.下列命题正确的是A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥βB.若平面α⊥β,则α内的直线垂直于平面βC.若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直,则不能说一定有a⊥α√基础巩固12345678910111213141516解析 A项,平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β,故A错误;B项,由面面垂直的性质定理知,只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面,故B错误;C项,平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线,只有当此直线在α内时才垂直于β,故C错误;D项,a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α,故D正确.123456789101112131415162.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥βC.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥βD.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β√解析 m∥α,m∥n,∴n∥α或n⊂α,又n⊥β,∴α⊥β.123456789101112131415163.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,若这两个二面角的平面角均为锐角,则这两个二面角的关系是A.相等 B.互补C.相等或互补 D.既不相等也不互补√解析 画图(图略)易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补,若它们的平面角均为锐角,则这两个二面角相等.12345678910111213141516解析 如图,因为AD⊥BC,AD⊥CD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD,又AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.4.在三棱锥A-BCD中,AD⊥BC,AD⊥CD,则有A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADB√123456789101112131415165.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC√解析 因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.123456789101112131415166.(多选)如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列说法正确的有A.平面PAD⊥平面PABB.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PCD√解析 由题意可得CD⊥平面PAD,AB⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,∴平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,故选ABC.12345678910111213141516√√7.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,有下列四个命题:①BC∥平面PDF;②平面PDF⊥平面ABC;③DF⊥平面PAE;④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________.①③④12345678910111213141516解析 因为D,F分别是AB,AC的中点,所以DF∥BC,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故①正确;因为E是BC的中点,所以BC⊥AE,BC⊥PE.因为AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故④正确;因为DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,故③正确;只有②不正确.故正确的命题为①③④.12345678910111213141516212345678910111213141516解析 如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,DE⊂平面ABD,所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC,123456789101112131415169.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM⊥平面A1B1M.12345678910111213141516证明 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.12345678910111213141516又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1M⊂平面A1B1M,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.1234567891011121314151610.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.求证:(1)BG⊥平面PAD;12345678910111213141516证明 ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又平面PAD∩平面ABD=AD,平面PAD⊥平面ABD,BG⊂平面ABD,∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.12345678910111213141516证明 由(1)可知BG⊥AD,又△PAD为正三角形,∴PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于√12345678910111213141516综合运用解析 如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角,12.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为 过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB∶A′B′等于A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3√12345678910111213141516∴在Rt△BB′A′中,得A′B′=a,∴AB∶A′B′=2∶1.13.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中正确的是A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°12345678910111213141516√解析 ∵AD与PB在平面ABCDEF的射影AB不垂直,所以A不成立;又平面PAB⊥平面PAE,所以B不成立;又BC∥AD,AD与平面PAE相交,C不成立;∵PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,12345678910111213141516∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.14.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题___________.12345678910111213141516①③④⇒②解析 共有四个命题:①②③⇒④,①②④⇒③,①③④⇒②,②③④⇒①.对于①②③⇒④,若m⊥n,α⊥β,n⊥β,则m与α可平行或相交,故命题错误;对于①②④⇒③,若m⊥n,α⊥β,m⊥α,则n与β可平行或相交,故命题错误;对于①③④⇒②,因为m⊥n,n⊥β,则m⊂β或m∥β,又因为m⊥α,则α⊥β,故命题正确;对于②③④⇒①,因为m⊥α,α⊥β,则m⊂β或m∥β,又因为n⊥β,则m⊥n,命题正确.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______________________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析 由题意得BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.16.如图①所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,BC∥AD,AD=2AB=4,BC=3,E为AD的中点,EF⊥BC,垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起,连接AD,AC,BC,得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3.12345678910111213141516(1)求证:平面ABFE⊥平面CDEF;证明 取EF的中点N,连接MN,DN,MD(图略).根据题意可知,四边形ABFE是边长为2的正方形,又M,N分别为AB,EF的中点,∴MN⊥EF,MN=2.12345678910111213141516∴MN⊥DN,又∵EF∩DN=N,∴MN⊥平面CDEF.又MN⊂平面ABFE,∴平面ABFE⊥平面CDEF.(2)求六面体ABCDEF的体积.12345678910111213141516解 连接CE(图略),则V六面体ABCDEF=V四棱锥C-ABFE+V三棱锥A-CDE.由(1)知MN⊥平面CDEF,又MN∥BF∥AE,∴BF⊥平面CDEF,AE⊥平面CDEF,∴BF⊥CF,又CF⊥EF,BF∩EF=F,∴CF⊥平面ABFE,12345678910111213141516
高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程,新在哪里?1、科目变化:外语语种增加,体育与健康必修。第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化,选课制度将全面推开。5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。8.6.3 平面与平面垂直第八章 §8.6 空间直线、平面的垂直 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法, 会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些 简单的问题.学习目标回顾两条直线的垂直的定义,要先定义角的概念,利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直,因此,定义两平面垂直,我们先从二面角开始.导语随堂演练课时对点练一、二面角的概念二、平面与平面垂直的定义和判定三、平面与平面垂直的性质定理内容索引一、二面角的概念二面角1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.2.画法:3.记法:二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.4.二面角的平面角:(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角,如图.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.例1 (1)从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定√解析 如图所示,过PE,PF作一个平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O,连接OE,OF.因为PE⊥α,PF⊥β,所以PE⊥l,PF⊥l,所以l⊥平面γ,所以l⊥OE,l⊥OF,则∠EOF为α-l-β的平面角,且它与∠EPF相等或互补,故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°,故选C.(2)如图所示,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.解 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.设点H是△BCD的中心,连接AH,则AH⊥平面BCD,且点H在线段BM上.反思感悟 求二面角的平面角的大小的步骤跟踪训练1 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解 由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.二、平面与平面垂直的定义和判定1.平面与平面垂直的定义(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β.(2)画法:2.面面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.例2 如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC.证明 ∵PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB,∴平面PDB⊥平面PAC.反思感悟 证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.跟踪训练2 如图,已知三棱锥S-ABC中,侧棱SA=SB=SC,∠ABC=90°,求证:平面ABC⊥平面ASC.证明 作SH⊥AC交AC于点H,连接BH,∵SA=SC,∴AH=HC.在Rt△ABC中,H是AC的中点,又SH=SH,SA=SB,∴△SAH≌△SBH(SSS),∴SH⊥BH,又AC∩BH=H,AC,BH⊂平面ABC,∴SH⊥平面ABC,又SH⊂平面ASC,∴平面ABC⊥平面ASC.三、平面与平面垂直的性质定理问题 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?由此,你能得到什么样的一般结论呢?提示 找到黑板所在平面与地面所在平面的交线,在黑板上画出和该交线垂直的直线,即垂直于地面.交线垂直a⊂αa⊥l例3 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.证明 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC.求证:BC⊥平面ACD.证明 如题图(1),在梯形ABCD中,AD=CD=2,∠ADC=90°,过C作CE⊥AB,E为垂足,∴四边形AECD为正方形,∴CE=AE=EB=2,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,如题图(2),平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,又BC⊂平面ABC且BC⊥AC,∴BC⊥平面ACD.1.知识清单:(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的定义和判定定理.(3)平面与平面垂直的性质定理.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线,与另一个平面垂直.课堂小结随堂演练1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在√1234解析 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β√1234解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β.3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,二面角D′-AB-D的大小是A.30° B.45° C.60° D.90°√1234解析 如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′,则AB⊥AD,AB⊥AD′,则∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,又因为四边形ADD′A′为正方形,所以∠D′AD=45°,即二面角D′-AB-D的大小是45°,故选B.解析 平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,4.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=_____.1234课时对点练1.下列命题正确的是A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥βB.若平面α⊥β,则α内的直线垂直于平面βC.若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直,则不能说一定有a⊥α√基础巩固12345678910111213141516解析 A项,平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β,故A错误;B项,由面面垂直的性质定理知,只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面,故B错误;C项,平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线,只有当此直线在α内时才垂直于β,故C错误;D项,a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α,故D正确.123456789101112131415162.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥βC.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥βD.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β√解析 m∥α,m∥n,∴n∥α或n⊂α,又n⊥β,∴α⊥β.123456789101112131415163.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,若这两个二面角的平面角均为锐角,则这两个二面角的关系是A.相等 B.互补C.相等或互补 D.既不相等也不互补√解析 画图(图略)易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补,若它们的平面角均为锐角,则这两个二面角相等.12345678910111213141516解析 如图,因为AD⊥BC,AD⊥CD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD,又AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.4.在三棱锥A-BCD中,AD⊥BC,AD⊥CD,则有A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADB√123456789101112131415165.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC√解析 因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.123456789101112131415166.(多选)如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列说法正确的有A.平面PAD⊥平面PABB.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PCD√解析 由题意可得CD⊥平面PAD,AB⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,∴平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,故选ABC.12345678910111213141516√√7.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,有下列四个命题:①BC∥平面PDF;②平面PDF⊥平面ABC;③DF⊥平面PAE;④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________.①③④12345678910111213141516解析 因为D,F分别是AB,AC的中点,所以DF∥BC,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故①正确;因为E是BC的中点,所以BC⊥AE,BC⊥PE.因为AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故④正确;因为DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,故③正确;只有②不正确.故正确的命题为①③④.12345678910111213141516212345678910111213141516解析 如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,DE⊂平面ABD,所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC,123456789101112131415169.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM⊥平面A1B1M.12345678910111213141516证明 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.12345678910111213141516又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1M⊂平面A1B1M,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.1234567891011121314151610.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.求证:(1)BG⊥平面PAD;12345678910111213141516证明 ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又平面PAD∩平面ABD=AD,平面PAD⊥平面ABD,BG⊂平面ABD,∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.12345678910111213141516证明 由(1)可知BG⊥AD,又△PAD为正三角形,∴PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于√12345678910111213141516综合运用解析 如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角,12.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为 过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB∶A′B′等于A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3√12345678910111213141516∴在Rt△BB′A′中,得A′B′=a,∴AB∶A′B′=2∶1.13.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中正确的是A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°12345678910111213141516√解析 ∵AD与PB在平面ABCDEF的射影AB不垂直,所以A不成立;又平面PAB⊥平面PAE,所以B不成立;又BC∥AD,AD与平面PAE相交,C不成立;∵PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,12345678910111213141516∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.14.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题___________.12345678910111213141516①③④⇒②解析 共有四个命题:①②③⇒④,①②④⇒③,①③④⇒②,②③④⇒①.对于①②③⇒④,若m⊥n,α⊥β,n⊥β,则m与α可平行或相交,故命题错误;对于①②④⇒③,若m⊥n,α⊥β,m⊥α,则n与β可平行或相交,故命题错误;对于①③④⇒②,因为m⊥n,n⊥β,则m⊂β或m∥β,又因为m⊥α,则α⊥β,故命题正确;对于②③④⇒①,因为m⊥α,α⊥β,则m⊂β或m∥β,又因为n⊥β,则m⊥n,命题正确.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______________________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析 由题意得BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.16.如图①所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,BC∥AD,AD=2AB=4,BC=3,E为AD的中点,EF⊥BC,垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起,连接AD,AC,BC,得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3.12345678910111213141516(1)求证:平面ABFE⊥平面CDEF;证明 取EF的中点N,连接MN,DN,MD(图略).根据题意可知,四边形ABFE是边长为2的正方形,又M,N分别为AB,EF的中点,∴MN⊥EF,MN=2.12345678910111213141516∴MN⊥DN,又∵EF∩DN=N,∴MN⊥平面CDEF.又MN⊂平面ABFE,∴平面ABFE⊥平面CDEF.(2)求六面体ABCDEF的体积.12345678910111213141516解 连接CE(图略),则V六面体ABCDEF=V四棱锥C-ABFE+V三棱锥A-CDE.由(1)知MN⊥平面CDEF,又MN∥BF∥AE,∴BF⊥平面CDEF,AE⊥平面CDEF,∴BF⊥CF,又CF⊥EF,BF∩EF=F,∴CF⊥平面ABFE,12345678910111213141516
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