第8章立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理学案含解析

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8.6.2　直线与平面垂直第1课时　直线与平面垂直的定义及判定定理木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？知识点1　直线与平面垂直的定义直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[提示]　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则(　　)A．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定D　[直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能，如图所示．①　　　　②　　 　③]知识点2　直线与平面垂直的判定定理2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． (　　)(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (　　)(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)A．平面OAB　　　　　 B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC．]知识点3　直线与平面所成的角1．相关概念：2．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．3．直线与平面所成的角θ的取值范围：0°≤θ≤90°．4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．45°　45°　0°　[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行， 即所成的角为0°．] 类型1　直线与平面垂直的判定【例1】　如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．[证明]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD．又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC．证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．eq \o([跟进训练])1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N．求证：AN⊥平面PBM．[证明]　设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM．又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM． 由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN．又AN⊥PM，∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM． 类型2　直线与平面所成的角【例2】　(对接教材P152例4)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]　在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．[解]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝eq \r(2)，∴tan∠A1CA＝eq \f(\r(2),2)．(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O．∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．[解]　连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a．∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，∴EO1＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2)a,2)＝eq \f(\r(2)a,4)，B1O1＝eq \r(BO\o\al(2,1)＋BB\o\al(2,1))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))eq \s\up12(2)＋a2)＝eq \f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq \f(EO1,B1O1)＝eq \f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq \f(1,3)．求直线与平面所成角的步骤是什么？[提示]　(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．eq \o([跟进训练])2．在正三棱柱ABC ­A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．[解]　如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD．因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′．因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝eq \f(\r(3),2)，在Rt△BB′C′中，BC′＝eq \r(B′B2＋B′C′2)＝eq \r(5)，故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为sin∠C′BD＝eq \f(C′D,BC′)＝eq \f(\r(15),10)．1．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　DBD　[对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE．故选BD．]2．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60°　　　　 B．45°C．30° D．120°A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq \f(1,2)，即∠ABO＝60°． 故选A．]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．[证明]　如图，连接AC，则AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线与平面垂直的定义是什么？(2)直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？应用该定理应注意哪些方面？(3)直线与平面所成角的定义是什么？角的取值范围是什么？如何求解？学 习 任 务核 心 素 养1．了解直线与平面垂直的定义．(重点)2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)4．能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明．(重点)1．通过学习直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2．通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养．定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直斜线一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线与平面的交点射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO