高中4.2 指数函数达标测试

第四章　4.2　4.2.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列各函数中，是指数函数的是(　D　)

A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝

C．y＝5x＋1　 D．y＝52x

[解析]　根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D．

2．已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　B　)

A．2　　 B．　　

C．0　　 D．

[解析]　f(－1)＝2－1＝，f[f(－1)]＝f＝3＝.

3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2015年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2021年需退耕(　C　)

A．8×1.14万公顷　 B．8×1.15万公顷

C．8×1.16万公顷　 D．8×1.13万公顷

[解析]　2021年需退耕8×(1＋10%)6＝8×1.16，故选C．

4．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　D　)

A．2　　 B．－2　　

C．－2　　 D．2

[解析]　由题意，得，

∴a＝8，∴f(x)＝8x.

∴f＝8＝2.

二、填空题

5．函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为__(0，1)__．

[解析]　由ax－1≥0，得ax≥1.

∵函数的定义域是(－∞，0]，∴ax≥1的解集为(－∞，0]，∴0<a<1.

6．已知函数f(x)满足：对任意实数x1<x2，有f(x1)<f(x2)，且f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，若写出一个满足这些条件的函数，则这个函数可以写为__f(x)＝2x(底数大于1的指数函数即可，不唯一)__．

三、解答题

7．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?

[解析]　根据题意得：1期到期本利和为：y＝a(1＋r)，2期到期本利和为：y＝a(1＋r)2，3期到期本利和为：y＝a(1＋r)3，

所以y＝a(1＋r)x(x∈N*)．

将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入得，

y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 118.

所以本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N*)，5期后的本利和约为1 118元．

B　组·素养提升

一、选择题

1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下(　D　)

A．克　 B．(1－0.5%)3克

C．0.925克　 D．克

[解析]　设这种放射性元素，每年衰减p，则(1－p)100＝，1－p＝，故1克这种元素，3年后剩余1×(1－p)3＝＝＝.故选D．

2．(多选题)以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为(　AD　)

A．y＝(＋1)x　 B．y＝(1－)x

C．y＝3x＋1　 D．y＝πx

[解析]　由指数函数的定义易知A、D是指数函数，B、C不是，故选AD．

二、填空题

3．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是__(1，2)__．

[解析]　由题意得0<a－1<1，∴1<a<2.

4．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a>0且a≠1)(x∈N*)．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为____元．

[解析]　由题意得

∴

∴y＝128·，

∴x＝4，y＝128×＝.

三、解答题

5．某生态文明小镇2018年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2022年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2)

[解析]　设这个城市平均每年要新增住房x万m2，

据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10，

所以x＝50×1.014－40≈12.

所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.