人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时课后测评

第四章　4.2　4.2.2　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．设a＝20.6，b＝20.5，c＝0.50.6，则(　D　)

A．a<b<c　　 B． b<a<c

C．b<c<a　　 D． c<b<a

[解析]　由题， c＝0.50.6＝0.6＝2－0.6，对于指数函数y＝2x可知在R上单调递增，

因为－0.6<0.5<0.6，所以2－0.6<20.5<20.6，即c<b<a，故选D．

2．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　D　)

A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)　　 D．(0，1)

[解析]　因为f(x)＝a－x＝在R上为单调函数，

又－2>－3，f(－2)>f(－3)，所以f(x)为增函数，故有>1，所以0<a<1.故选D．

3．函数f(x)＝是(　B　)

A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数

B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数

C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数

D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数

[解析]　因为f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，

故f(x)＝为增函数．故选B．

4．若<，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　　　 B．

C．(－∞，1)　　 D．

[解析]　由题意，得2a＋1>3－2a，

∴4a>2，∴a>，故选B．

5．函数y＝的单调增区间为(　A　)

A．(－∞，＋∞)　　 B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)　　 D．(0，1)

[解析]　设t＝1－x，则y＝，函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝的递增区间，故选A．

6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋a与y＝ax的图象大致是(　B　)

[解析]　B项中，由y＝ax的图象，知a>1，故直线y＝ax＋a与y轴的交点应在(0，1)之上，与x轴交于点(－1，0)，其余各选项均矛盾．

二、填空题

7．若函数f(x)的定义域是，则函数f(2x)的定义域是__(－1，0)__．

[解析]　由<2x<1得－1<x<0.

8．在函数y＝ax(a>0且a≠1)中，若x∈[1，2]时最大值比最小值大，则a的值为__或__．

[解析]　当a>1时，有a2－a＝，

∴a2－a＝0，

∴a＝.

当0<a<1时，有a－a2＝，∴a2－＝0，

∴a＝.综上，a的值为或.

9．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为__－__.

[解析]　解法一：∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＋f(x)＝0，

即＋a＋＋a＝0，

∴2a＝－－＝－＝－1，

∴a＝－.

解法二：f(0)＝＋a＝＋a，

又f(0)＝0，∴a＝－.

三、解答题

10．比较下列各题中两个数的大小：

(1)9.013.2，9.013.3；

(2)9.01m，9.01－m(m∈R)．

[解析]　函数f(x)＝9.01x是增函数，

(1)∵3.2<3.3，∴9.013.2<9.013.3.

(2)当m>－m即m>0时，∴9.01m>9.01－m；

当m＝－m即m＝0时，∴9.01m＝9.01－m；

当m<－m即m<0时，∴9.01m<9.01－m.

综上所得，当m>0时，9.01m>9.01－m；当m＝0时，9.01m＝9.01－m；当m<0时，9.01m<9.01－m.

11．已知函数y＝.

(1)求此函数的定义域，值域；

(2)确定函数的单调区间．

[解析]　(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域都是R，故函数y＝的定义域为R.因为u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又函数y＝在R上单调递减，所以≤，又>0，故函数的值域为.

(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1，x2∈[3，＋∞)，且x1<x2，有u1<u2，从而>，即y1>y2，所以函数y＝在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝－5x，则f(x)是(　C　)

A．奇函数，且在R上是增函数

B．偶函数，且在R上是增函数

C．奇函数，且在R上是减函数

D．偶函数，且在R上是减函数

[解析]　f(x)定义域为R，且f(－x)＝－5－x＝5x－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，由于y＝与y＝－5x都为R上的减函数，所以f(x)为R上的减函数．故选C．

2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调减区间是(　B　)

A．(－∞，2]　　 B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)　　 D．(－∞，－2]

[解析]　由f(1)＝，得a2＝，

于是a＝，因此f(x)＝.

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

3．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　AD　)

A．f(－2)>f(－1)　　 B．f(－1)>f(－2)

C．f(1)>f(2)　　 D．f(－4)>f(3)

[解析]　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(2)>f(1)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以AD正确．

4．(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　ABD　)

A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)

B．f(－2)<f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x

D．f(2x)＝2f(x)g(x)

[解析]　A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，

所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；

B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)<f(3)；

C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；

D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)．

二、填空题

5．已知2x≤，则函数y＝的值域为____．

[解析]　由2x≤，得2x≤2－2x＋6，

∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴≥＝，

即y＝的值域为.

6．方程2x＝－x2＋2的实数解的个数为__2__．

[解析]　方程解的个数等于函数y＝2x与函数y＝－x2＋2的图象交点个数，如图，可知两函数图象有2个交点，所以方程有2个实根．

7．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为____．

[解析]　设t＝，当x≥0时，2x≥1，所以0<t≤1，y＝－t2＋t＝－＋，

所以0≤y≤，故当x≥0时，f(x)∈.

因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

所以当x<0时，f(x)∈，故函数f(x)的值域是.

三、解答题

8．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．

[解析]　函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1，1]．若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0<a<1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.

9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)判断并证明函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的t∈[－1，1]不等式f(t2－2t)＋f(k－t2)<0恒成立，求实数k的取值范围．

[解析]　(1)∵f(x)＝是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，

∵f(0)＝＝0，解得：a＝1，∴f(x)＝，

∴f(－x)＝＝－，解得：b＝2；

当a＝1，b＝2时，f(x)＝，∴f(－x)＝＝＝－f(x)，满足f(x)为奇函数；

综上所述：a＝1，b＝2.

(2)由(1)得：f(x)＝＝＝－；

设x2>x1，则f－f＝－＝，

∵2x2>2x1>0，∴2x2＋1>2x1＋1>1，2x1－2x2<0，∴f(x2)－f(x1)<0，

∴f(x)是定义在R上的减函数．

(3)由f(t2－2t)＋f(k－t2)<0得：f(t2－2t)<－f(k－t2)，又f(x)为R上的奇函数，

∴－f(k－t2)＝f(t2－k)，

∴f(t2－2t)<f(t2－k)，

由(2)知：f(x)是定义在R上的减函数，

∴t2－2t>t2－k，即k>2t，

当t∈[－1，1]时，2t∈[－2，2]，∴k>2，即实数k的取值范围为(2，＋∞)．