人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时课后复习题

第四章　4.2　4.2.2　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数y＝的定义域是(　B　)

A．[0，＋∞)　　 B．(－∞，0]

C．[1，＋∞)　　 D．(－∞，＋∞)

[解析]　1－3x≥0，3x≤1，∴x≤0，故选B．

2．函数f(x)＝3x－3(1<x≤5)的值域是(　C　)

A．(0，＋∞)　　 B．(0，9)

C．　　 D．

[解析]　因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有<f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为，故选C．

3．若<<<1，则(　D　)

A．a<b<0　　 B．b>a>1

C．0<b<a<1　　 D．0<a<b<1

[解析]　∵y＝在R上是减函数，<<<1＝，∴0<a<b<1.

4．函数y＝2x＋1的图象是(　A　)

[解析]　y＝2x＋1＝2·2x是R上的增函数，且过(0，2)点，故选A．

5．已知函数f(x)＝4x－2x＋1＋4，x∈[－1，1]，则函数y＝f(x)的值域为(　B　)

A．[3，＋∞)　　 B．[3，4]

C．　　 D．

[解析]　依题意，函数f(x)＝(2x)2－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t，则t＝2x在x∈[－1，1]上单调递增，即≤t≤2，于是有y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，当t＝1时，ymin＝3，此时x＝0，f(x)min＝3，当t＝2时，ymax＝4，此时x＝1，f(x)max＝4，所以函数y＝f(x)的值域为[3，4]．故选B．

6．如果a>1，b<－1，那么函数y＝ax＋b的图象在(　B　)

A．第一、二、三象限　　 B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限　　 D．第一、二、四象限

[解析]　∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，

又∵b<－1，∴当x＝0时，ax＋b＝1＋b<0，

∴函数y＝ax＋b的图象如图，故选B．

二、填空题

7．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是____，____，__π__，____．

[解析]　由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．

则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数，而<<<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.

8．函数y＝的值域为__[0，1)__．

[解析]　由3x>0，得－3x<0，∴1－3x<1，又1－3x≥0，所以0≤<1，所以函数y＝的值域为[0，1)．

9．若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝__6__．

[解析]　利用y＝的单调性可知，m＝＝4，n＝＝2，故m＋n＝6.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

[解析]　(1)因为函数图象过点，

所以a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)．

由x≥0，得x－1≥－1，于是0<≤＝2.

所以所求函数的值域为(0，2]．

11．求下列函数的定义域和值域．

(1)y＝3；

(2)y＝2x＋1.

[解析]　(1)由5x－1≥0，得x≥.

故所求函数定义域为x≥}．

由≥0，得y≥1.

故所求函数值域为{y|y≥1}．

(2)所求函数定义域为R，

由2x>0，可得2x＋1>1.

故所求函数值域为{y|y>1}．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若>，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞)

C．(3，＋∞)　　 D．(－∞，3)

[解析]　因为y＝x在定义域上单调递减，所以2a＋1>4－a等价于2a＋1<4－a，解得a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1)，故选A．

2．定义运算a*b＝，如1*2＝1，则函数f(x)＝2x*2－x的值域是(　D　)

A．(0，1)　　 B．(0，＋∞)

C．[1，＋∞)　　 D．(0，1]

[解析]　由题意知函数f(x)的图象如图，

∴函数的值域为(0，1]，故选D．

3．(多选题)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　CD　)

[解析]　当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0<a<1时，>1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选CD．

4．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　CD　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)

D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

[解析]　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；

f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；

f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．

二、填空题

5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝4x，则f＝__－2__．

[解析]　因为当x>0时，f(x)＝4x，

所以f＝4＝2.

又因为f(x)是R上的奇函数，

所以f＝－f＝－2.

6．已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝__或__．

[解析]　若a>1，则函数y＝ax在区间[－1，2]上是递增的，

当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，所以a＝.

若0<a<1，则函数y＝ax在区间[－1，2]上是递减的，

当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝.

综上所述，a的值为或.

7．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是__(－1，0)∪(0，1)__.

[解析]　画出f(x)的图象，可知，当x<0时，y＝2x，y∈(0，1)，当x>0时，y＝－2－x＝－，y∈(－1，0)．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．

(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．

[解析]　(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，

所以

又因为a>0，且a≠1，

所以a＝，b＝－3.

(2)f(x)单调递减，所以0<a<1，

又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.

故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.

故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．

9．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[－2，2]上的函数值总小于2，求a的取值范围．

[解析]　当a>1时，f(x)＝ax在[－2，2]上是增函数，

则f(x)max＝f(2)＝a2<2，所以1<a<；

当0<a<1时，f(x)＝ax在[－2，2]上是减函数，

则f(x)max＝f(－2)＝a－2<2，所以<a<1.

综上所述，a的取值范围是∪(1，)．