高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列各函数中，是指数函数的是( D )
A．y＝x3 B．y＝eq \f(1,x)
C．y＝5x＋1 D．y＝52x
[解析] 根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,3x，x>0，))则f[f(－1)]＝( B )
A．2 B．eq \r(3)
C．0 D．eq \f(1,2)
[解析] f(－1)＝2－1＝eq \f(1,2)，
f[f(－1)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝＝eq \r(3).
3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2017年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕( C )
A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷
C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷
[解析] 2023年需退耕8×(1＋10%)6＝8×1.16，故选C.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0.))若f[f(－1)]＝1，则a＝( A )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
[解析] 根据题意可得f(－1)＝21＝2，∴f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝eq \f(1,4)，故选A.
5．(多选题)函数f(x)是指数函数，则下列等式中正确的是( ABD )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝eq \f(fx,fy)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝eq \f(ax,ay)＝eq \f(fx,fy)，故B中的等式正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝，f(x)－f(y)＝ax－ay≠，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．
二、填空题
6．函数y＝eq \r(ax－1)(a＞0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为_(0,1)_.
[解析] 由ax－1≥0，得ax≥1.
∵函数的定义域是(－∞，0]，∴ax≥1的解集为(－∞，0]，∴0＜a＜1.
7．已知函数f(x)满足：对任意实数x18．某林场计划第一年造林1 000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林_1_728_公顷．
[解析] 设年份为x，造林面积为y公顷，因为林场计划第一年造林1 000公顷，以后每年比前一年多造林20%，所以y＝1 000×(1＋20%)x－1，故当x＝4时，y＝1 000×(1＋20%)3＝1 728，所以第四年该林场造林1 728公顷．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并证明．
[解析] (1)因为函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数，所以a2＋a－5＝1且a＞0，解得a＝2，故f(x)＝2x.
(2)F(x)为奇函数，证明如下：F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x的定义域为R，且对∀x∈R，－x∈R，F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，故F(x)为奇函数．
10．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?
[解析] 根据题意得：1期到期本利和为：y＝a(1＋r)，2期到期本利和为：y＝a(1＋r)2,3期到期本利和为：y＝a(1＋r)3，
所以y＝a(1＋r)x(x∈N*)．
将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入得，
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 118.
所以本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N*)，5期后的本利和约为1 118元．
B组·能力提升
一、选择题
1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( D )
A.eq \f(3×0.5,100) 克 B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D．eq \r(100,0.125) 克
[解析] 设这种放射性元素，每年衰减p，则(1－p)100＝eq \f(1,2)，1－p＝eq \r(100,\f(1,2))，故1克这种元素，3年后剩余1×(1－p)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(100,\f(1,2))))3＝eq \r(100,\f(1,8))＝eq \r(100,0.125).故选D.
2．(多选题)若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3))·ax(a＞0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( AC )
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \r(2) D．a＝4
[解析] 由函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3))·ax是指数函数，
所以eq \f(1,2)a－3＝1，解得a＝8，选项A正确；
所以f(x)＝8x，f(0)＝1，选项B错误；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，选项C正确；
a≠4，选项D错误．
3．夏天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( C )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
[解析] 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N＋)，根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
二、填空题
4．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是_(1,2)_.
[解析] 由题意得05．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a>0，且a≠1)(x∈N*)．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为 eq \f(81,2)_元．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(96＝k·a，,54＝k·a3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))
∴y＝128·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x，
∴x＝4，y＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＝eq \f(81,2).
三、解答题
6．某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2023年年末，森林剩余面积为原来面积的eq \f(\r(2),2)，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的eq \f(1,4).
(1)求每年砍伐面积的百分比p%；
(2)到2023年年末，该森林已砍伐了多少年？
[解析] (1)由题意可得，a(1－p%)10＝eq \f(1,2)a，解得p%＝1－，
所以每年砍伐面积的百分比p%为1－.
(2)设经过m年森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，则a·(1－p%)m＝eq \f(\r(2),2)a，
所以(1－p%)m＝eq \f(\r(2),2)＝，由(1)可得，1－p%＝，
所以eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5，故到2023年年末，该森林已砍伐了5年．
C组·创新拓展
已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，eq \f(f1,f0)＝eq \f(1,2)，eq \f(f2,f1)＝eq \f(1,2)，…，eq \f(fn,fn－1)＝eq \f(1,2)，n∈N，求函数y＝f(x)的一个解析式．
[解析] 当x增加1时函数值以eq \f(1,2)为衰减率衰减，所以f(x)为指数衰减型函数，
令f(x)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，因为f(0)＝3，所以k＝3，所以f(x)＝eq \f(3,2x).