北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理练习题

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1.1 探索勾股定理（提升题） 北师大版八年级上册 一．选择题1．如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（　　）A．18 B．20 C．22 D．242．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．43．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　　）A． B． C． D．4．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　　）A．4 B．6 C．2 D．35．已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（　　）A．30 B．+17 C．+17或30 D．366．已知3，4，m是一个直角三角形的三条边长，则实数m的相反数为（　　）A．5 B．﹣5 C．5或 D．﹣5或﹣7．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（　　）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（　　）A．8 B．10 C．13 D．159．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，BC＝4，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为2，则点P的位置有（　　）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处10．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题11．若直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的斜边长为 　   　．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝　   　．13．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 　   　．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝　   　．15．如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 　   　条． 三．解答题16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，CD＝9．求△ABC的面积．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，求t的取值？18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．19．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE＝，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．（1）求AB的长；（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．20．如图，△ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜5且△BMN为直角三角形时，求t的值；（2）当t为何值，△BMN为等边三角形．   参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵∠DOB＝90°，∴BO2+DO2＝DB2，∵S1＝•π（）2＝；S2＝π（）2＝；S3＝π（）2＝；∴S2+S3＝（OD2+BO2）＝BD2＝S3，即S2+S3＝S1．∵S1＝40，S3＝18，∴S2＝40﹣18＝22，故选：C．2．【解答】解：依题意“弦”为＝，而3.5＝＜＜＝4，∴“弦”最接近的整数是4．故选：D．3．【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC＝2×2﹣1×2﹣﹣＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝，故点C到AB的距离是，故选：D．4．【解答】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM＝＝＝2．故选：C．5．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝＝13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝＝，此时这个三角形的周长＝5+12+＝+17，综上所述，该三角形的周长为30或+17．故选：C．6．【解答】解：当m为斜边时：32+42＝m2，解得：m1＝5，m2＝﹣5（不符合题意）；当m为直角边时：32+m2＝42，解得：m1＝，m2＝﹣（不符合题意）．故第三边长m为5或，∴实数m的相反数为﹣5或﹣．故选：D．7．【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，∴正方形EFGH的边长＝3，故小正方形的边长为3，故选：C．8．【解答】解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DB＝DA，设DB＝x，则CD＝BC﹣DB＝18﹣x，∵∠C＝90°，AC＝12，∴AD2＝CD2+AC2，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得x＝13，即BD＝13，故选：C．9．【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点D作DG⊥AC于点G，如图所示：则∠BHC＝90°，∠AGD＝90°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠CBH＝30°，∵BC＝4，∴HC＝2，根据勾股定理，得HB＝2，∴点P在点B处时，点P到AC的距离为2，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴GD＝AC∵AC＝2BC＝8，∴GD＝4，∵4＞2，∴在AD边和CD边上各有一点P，使得点P到AC的距离为2，综上，满足条件的点P有3处，故选：C．10．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D． 二．填空题11．【解答】解：分两种情况：①当3和4都为直角边时，由勾股定理得斜边长为：＝5；②当4为斜边时，斜边＝4；综上所述：该直角三角形的斜边长为5或4．故答案为：5或4．12．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，∴BD＝CD，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝4，设AD＝x，则CD＝BD＝4﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，∴AD＝，故答案为：．13．【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝6，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，由圆的面积计算公式知：S3＝πBC2，S2＝πAC2，S1＝πAB2，则S1+S2＝π（AB2+AC2），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝CB2，∴S1+S2＝S3．∵阴影部分面积等于：S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC＝×6×8＝24，故答案为：24．14．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AC＝AB＝2，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠ADE，∴AC＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴DE＝BE，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．15．【解答】解：∵OA1＝1，∴由勾股定理可得OA2＝＝，OA3＝，…，∴OAn＝，∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，完全平方数有1，4，9，故长度为整数的线段有3条．故答案为：3． 三．解答题16．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝13，BD＝5，∴AD＝＝＝12，∵CD＝9，∴BC＝BD+CD＝14，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，∴△ABC的面积为84．17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），当AB＝AP时，由△ABC≌△APC可知：PC＝BC＝8cm，∴BP＝16cm，∴t＝16，当BA＝BP时，BP＝10cm，∴t＝10，当PA＝PB时，设BP＝xcm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，∴x＝，∴BP＝cm，∴t＝，故t的取值为：16或10或．18．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝8+4，∵AB＝2，∴AB2＝8，∴AC•BC＝2，∴△ABC的面积＝AC•BC＝；（2）∵△ABC的面积＝AC•BC＝，CD⊥AB，∴AB•CD＝，∴CD＝＝．19．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE＝，∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB＝＝＝5；（2）①当BF＝BE＝4时，AF＝AB﹣BF＝5﹣4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝2（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3；③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5．综上所述，AF的长为5﹣4或3或．20．【解答】解：（1）当0＜t＜5时，点M在BC上，点N在AB上，BN＝4t，MB＝20﹣4t，△BMN为直角三角形，则∠BNM＝90°或∠NMB＝90°，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2BN，∴20﹣4t＝2×4t，解得：t＝；②当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BN＝2BM，∴4t＝2（20﹣4t），解得：t＝．③点M在AC上，点N在AB上，AN＝CM＝40﹣4t，（80﹣8t）+（40﹣4t）＝20，t＝（不合题意舍去），综上，当t＝或时，△BMN为直角三角形；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则0＜t≤10，①当0＜t≤5时，当MB＝BN时，△BMN为等边三角形，此时，4t＝20﹣4t，解得：t＝；②当5＜t≤10时，△BMN为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，此时，t＝10，综上，t＝或t＝10时，△BMN为等边三角形．