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初中数学1 探索勾股定理练习
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这是一份初中数学1 探索勾股定理练习，文件包含北师大版数学八年级上册同步讲义第1章第01讲探索勾股定理原卷版docx、北师大版数学八年级上册同步讲义第1章第01讲探索勾股定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
1.熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题．
3.熟练掌握重要的数学思想：方程思想.
知识点01 勾股定理
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【微点拨】
1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）；
2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式.
3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
知识点02 勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了.由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法.
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法）
图（1）中，所以.
图（1） 图（2）
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法）
图（2）中，所以.
【微点拨】
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义.以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
题型01 用勾股定理解三角形
【典例1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．
【变式1】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．
【变式2】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：
(1)的长和的面积；
(2)的长．
题型02 已知两点坐标求两点距离
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（ ）
A．B．8C．9D．10
【变式1】（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．4B．3C．7D．5
【变式2】（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为______
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
A．B．C．12D．24
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别是，，，且，，则（ ）
A．20B．12C．D．
【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12B．15C．144D．306
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求：
(1)的长；
(2)边上的高．
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为_____．
【变式2】（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ____________________．
题型06 勾股定理的证明方法
【典例1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，，，且在同一直线上．求证：；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【变式1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
一、选择题
1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3B．C．5D．4
2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A．30B．60C．D．40
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）若直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（ ）
A．13B．13或C．13或15D．15
4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
5．（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为( )
A．B．C．D．3
二、填空题
6．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为______．
7．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为______．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在中，，，垂足为D，，，则______．
10．（2023·辽宁大连·校联考二模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是______．
三、解答题
11．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点D落在边的处，是折痕．已知，，求的长．
12．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在中，，
(1)求的长；
(2)求的长．
13．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)＝___；
(2)求的面积．
14．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，．
(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
15．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
16．（2023春·全国·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
1.熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题．
3.熟练掌握重要的数学思想：方程思想.
知识点01 勾股定理
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【微点拨】
1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）；
2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式.
3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
知识点02 勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了.由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法.
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法）
图（1）中，所以.
图（1） 图（2）
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法）
图（2）中，所以.
【微点拨】
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义.以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
题型01 用勾股定理解三角形
【典例1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．
【变式1】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．
【变式2】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：
(1)的长和的面积；
(2)的长．
题型02 已知两点坐标求两点距离
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（ ）
A．B．8C．9D．10
【变式1】（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．4B．3C．7D．5
【变式2】（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为______
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
A．B．C．12D．24
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别是，，，且，，则（ ）
A．20B．12C．D．
【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12B．15C．144D．306
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求：
(1)的长；
(2)边上的高．
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为_____．
【变式2】（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ____________________．
题型06 勾股定理的证明方法
【典例1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，，，且在同一直线上．求证：；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【变式1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．
一、选择题
1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3B．C．5D．4
2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A．30B．60C．D．40
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）若直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（ ）
A．13B．13或C．13或15D．15
4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
5．（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为( )
A．B．C．D．3
二、填空题
6．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为______．
7．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为______．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在中，，，垂足为D，，，则______．
10．（2023·辽宁大连·校联考二模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是______．
三、解答题
11．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点D落在边的处，是折痕．已知，，求的长．
12．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在中，，
(1)求的长；
(2)求的长．
13．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)＝___；
(2)求的面积．
14．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，．
(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
15．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
16．（2023春·全国·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
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