必修1_高中数学（人教A版2019）例题、课后习题及变式题_Word版
展开第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
例1 已知指数函数（，且），且，求，，的值.
分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.
解：因为，且，则，解得，于是.
所以，，，.
例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则
，
.
利用计算工具可得，
当时，.
当时，.
结合图可知：
当时，，
当时，.
当时，.
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.
当时，利用计算工具求得.
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：对于（1）（2），要比较两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.
解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以.
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因，所以.
（3）由指数函数的性质知，，
所以.
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
4.2.1 指数函数的概念
练习
1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象与性质选择．
【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C.
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点，值域是．
2. 已知函数，且，，求函数的一个解析式.
【答案】
【解析】
【分析】
用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论．
【详解】由己知得，，，
，
，又.
【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．
3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
【答案】6.16倍
【解析】
【分析】
根据平均增长率问题可得．
【详解】设现在的蓝藻量为，经过30天后的蓝藻量为，则，
，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是．
4.2.2 指数函数的图象和性质
练习
4. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性．
【详解】和的图象如图，和的图象关于y轴对称
【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题．
5. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由函数的单调性比较；
（2）由函数的单调性比较；
（3）与中间值 1比较．
【详解】（1）函数在上是增函数，
.
（2）函数在上为减函数，
.
（3）.
【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．
6. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
定义域是．是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得．
【详解】经时间，癌细胞数量为，图象如图.
【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用．
习题4.2
复习巩固
7. 求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）R；（2）R；（3）R；（4）.
【解析】
【分析】
根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域．
【详解】解：（1）函数的定义域为；
（2）函数的定义域为；
（3）函数的定义域为；
（4）要使函数有意义，则，则函数的定义域为．
【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题．
8. 一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式．
【详解】解：由题意，今后年内，年产量随时间变化的增长率为，
又原来的年产量是a件，
∴．
【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题．
9. 比较满足下列条件的m，n的大小：
（1）； （2）；
（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性即可比较大小．
【详解】解：（1）∵函数在上单调递增，且，
∴；
（2）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（3）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（4）∵函数在上单调递增，且，
∴．
【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
10. 设函数，且.
（1）求函数的增长率r；（2）求的值.
【答案】（1）0.15；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得，由此可求得答案；
（2）代入解析式即可求出．
【详解】解：（1）由已知得，解得.
所以增长率r约为0.15.
（2）由（1）知，，
∴.
【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题．
综合运用
11. 求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
x | 0 | 1 | 2 |
3.50 | 4.20 | 5.04 |
（2）函数的图象如图：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设，再代入其中两点即可算出答案；
（2）由图象可知函数模型为指数型，设，代入两点坐标即可求出答案．
【详解】解：（1）设.
把代入得，
，解得，
为可能的解析式；
（2）设，将代入，得
，解得，
∴为一个可能的解析式．
【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．
12. 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】（1）由单调递增，，所以；
（2）由单调递减，，所以；
（3）由单调递增，，所以；
（4）由单调递减，，所以.
13. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
【答案】能
【解析】
【分析】
碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论．
【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为，
所以能探测到．
【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．
14. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
【答案】（1）.（2）（元）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式；
（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．
【详解】解：（1）根据题意可得；
（2）由（1）可知，当时，
，
∴5期后的本利和约为元．
【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．
拓广探索
15. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【答案】（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.
【解析】
【分析】
（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；
（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．
【详解】解：（1）由题意知，，，
，
∴，图象如图：
（2）∵，
∴，
为偶函数，
又，
∴在上为减函数，在上为增函数．
【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．
16. 已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？
【答案】（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是.
【解析】
【分析】（1）由题意按照a>1、0<a<1分类，结合指数函数的性质即可得解；
（2）由题意转化条件得，按照a>1、0<a<1分类，结合指数函数的性质即可得解.
【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数，
由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数；
当0<a<1时，f (x)=ax是R上的减函数，
由于>1，所以g(x)=是R上的增函数；
（2），
当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0.
∴当a>1时，x的取值范围是；
当0<a<1时，x的取值范围是.
【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.
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