选修1_高中数学（人教A版2019）例题、课后习题及变式题

第一章  空间向量与立体几何

1.2  空间向量基本定理

例1  如图1.2-2，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．

图1.2-2

分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，可以用基底{，，}表示出来．

解：

．

练习

1. 已知向量是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？

【答案】

【解析】

【分析】易得，再根据是否与共面判断.

【详解】因为，，

所以，

所以与共面，与共面，

所以与不可以构成空间的一个基底，与不可以构成空间的一个基底，

而与不共面，

所以与可以构成空间的一个基底.

故答案为：.

2. 已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？

【答案】O，A，B，C四点共面.

【解析】

【分析】根据基底的定义，即可判断.

【详解】因为向量，，不构成空间的一个基底，

所以向量，，共面，

由向量，，有公共点O，

所以O，A，B，C四点共面.

3. 如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．

（1）是否构成空间的一个基底？

（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．

【答案】（1）能；（2）；；；

【解析】

【分析】（1）根据向量不在同一平面内可判断；

（2）根据空间向量加减运算转化可求得.

【详解】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底；

（2），

，

，

.

例2  如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证．

       图1.2-3

分析：要证，只需证明．由已知，{，，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．

证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间一个基底，我们用它们表示，，则，

，

所以

所以．

例3  如图1.2-4，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．

     图1.2-4

（1）求证：．

（2）求与所成角的余弦值．

分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求与所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可．

（1）证明：设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．

所以

．

所以．

所以．

（2）解：因，

，

所以

．

所以与所成角的余弦值为．

练习

4. 已知四面体OABC，，．求证：．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明

【详解】

因为,

所以,

因为，，

所以，

所以，即.

5. 如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．

【答案】0

【解析】

【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.

【详解】取基底，,

,

所以

.

设与的夹角为，则，

所以与所成角的余弦值为0.

6. 如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证.

【详解】在正方体，可建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则,

所以，，

所以即.

习题1.2

复习巩固

7. 如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么，间应有什么关系？

【答案】共线.

【解析】

【分析】直接利用基底的定义判断即可.

【详解】因为向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以，一定共线.

8. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ）

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

【答案】ABD

【解析】

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

9. 在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量．

【答案】

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答案.

【详解】解：如下图所示：

，

所以，.

10. 如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.

【答案】，.

【解析】

【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：连接

所以

综合运用

11. 如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．

【答案】

【解析】

【分析】以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则

所以，所以

即的长为.

12. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】设，，，

由于四边形为菱形，则，即，

所以，，同理可得，

由题意可得，，

所以，，所以，，

同理可证，

因为，因此，平面.

拓广探索

13. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与CG所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；

（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值

【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

14. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】根据题目写出已知和求证，设，，，

由可得，从而，即.

所以，即，同理可证，.

【详解】

已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且.

求证：，，.

证明：设，，，

则，

，

由可得，则，

所以，

由此可得，

所以，即.

所以，即，同理可证，.

故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.