数学必修 第一册4.3 对数测试题
展开第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；（5）；
（6）.
例2 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.又，所以.
（3）因为，所以，，
于是.
（4）因为，所以，，
于是.
例3 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）
.
例4 用，，表示.
解：
.
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.
由，可得
，.
于是，
利用计算工具可得，.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
4.3.1 对数的概念
练习
1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以；
【小问2详解】
解：因为，所以；
【小问3详解】
解：因为，所以；
【小问4详解】
解：因为，所以；
【小问5详解】
解：因为，所以；
【小问6详解】
解：因为，所以；
2. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）2 （2）0
（3）-1 （4）-3
【解析】
【分析】利用对数的运算求解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
.
3. 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以；
【小问2详解】
解：因为，所以，所以，因为且，所以；
【小问3详解】
解：因为，所以，所以；
【小问4详解】
解：因为，所以，即，所以，所以
4.3.2对数的运算
练习
4. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）7 （2）1
（3）0 （4）-1
【解析】
【分析】利用对数的运算求解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
.
5. 用表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】（1）由对数运算法则：，即可得出表达式；
（2）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（3）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（4）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型.
6. .化简下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简即可得解.
【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得
（2）根据对数的运算性质,化简可得
【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,换底公式的用法,属于基础题.
习题4.3
复习巩固
7. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【解析】
【分析】（1）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（2）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（3）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（4）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（5）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（6）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（7）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（8）利用指数式与对数式的转化可得出结果.
【小问1详解】
解：因为，则.
【小问2详解】
解：因为，则.
【小问3详解】
解：因为，则.
【小问4详解】
解：因为，则.
【小问5详解】
解：因为，则.
【小问6详解】
解：因为，则.
【小问7详解】
解：因为，则.
【小问8详解】
解：因为，则.
8. 使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. ,且
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数的定义得到不等式组解得.
【详解】解：
解得，即且.
故选：
【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.
9. 对数与互为相反数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题得，化简即可得答案.
【详解】解：由已知得，即，则.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.
10. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质，换底公式的应用，属于中档题.
11. 求满足下列条件的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】解：（1）
，
（2），
（3），
（4），，，
【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质的应用，属于基础题.
综合运用
12. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】，
解：（1）.
（2）
（3）.
（4）.
【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质的应用，属于基础题.
13. 求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；
（2）根据对数恒等式计算可得.
【详解】解：（1）
，
；
（2），.
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
14. 证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
利用换底公式及对数的性质即可证明
【详解】证明：（1）.
故.
（2），
【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.
15. 某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？
【答案】12
【解析】
【分析】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，则由题知，解得x的值即可.
【详解】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，
则由题知，
解得，
故12年后 GDP会翻两番
拓广探索
16. 我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天
【解析】
【分析】
（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.
（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.
【详解】解：（1）.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.
17. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？
【答案】5
【解析】
【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得.
【详解】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则，
∴，∴，
∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车.
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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式习题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式习题，共16页。试卷主要包含了3 诱导公式，0001）等内容，欢迎下载使用。
