高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）同步测试题

第三章  函数的概念与性质

3.4  函数的应用（一）

例1  设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

分析：根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式.

解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得

.

令，得.

根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，.所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为.

结合3.1.2例8的解析式③，可得：

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以.

所以，函数解析式为.           ④

（2）根据④，当时，

所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元.

例2  一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.

分析：当时间t在内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.根据图，在时间段，，，，内行驶的平均速率分别为50，80，90，75，65，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述.

解：（1）阴影部分的面积为.

阴影部分面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360.

（2）根据图，有

.

这个函数的图象如图所示.

练习

1. 若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？

【答案】没有超速.

【解析】

【分析】先根据题意得到函数的解析式，然后根据刹车后滑行距离为，求出相应的车速，与限速比较后可得结论．

【详解】由题意知点在函数的图象上，

∴，解得得，

∴，

当时，则有，

整理得，

∴．

∵，

∴这辆车没有超速行驶．

【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力，属于基础题．

2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

【答案】边长为的正方形时

【解析】

【分析】

设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解.

【详解】解：设广告牌的长为，则宽为.

设广告牌的面积为.则.

当时，y取最大值.此时宽为.

∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.

【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题.

3. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：

（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；

（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.

【答案】（1），，，；（2）分析见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式.

（2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损.

【详解】解：（1）由题意，得，，，

.

（2）画出的图象如图.

由图象可知，当时，该公司亏损；

当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利.

【点睛】本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题.

习题3.4

综合运用

4. 某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据分段函数写出x,v的表达式，作图即可

【详解】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：

车速v()表示为时间的函数：图像如图

【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题能力，着重考查分段函数的概念是基础题

5. 要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？

【答案】长度应该在内

【解析】

【分析】

设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，，从而求解二次不等式的解集．

【详解】解：设水池的长为，宽为；总造价为元；

则，故；

；

则；

解得，；

故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内．

【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．

6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．

【答案】

【解析】

【分析】本题可设此户居民本月用水量为，然后分为、、三种情况进行讨论，结合计费方法即可得出结果.

【详解】设此户居民本月用水量为，

当时，，解得，不满足题意；

当时，，解得，满足题意；

当时，，解得，不满足题意，

综上所述，此户居民本月用水量为.

拓广探索

7. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.

（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；

（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？

【答案】（1）点A见解析，点B见解析，射线AB见解析；（2）两种建议见解析

【解析】

【分析】

（1）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，即可得出结论．

（2）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据图象，即可得出合理的建立．

【详解】解：（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平；

射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.

（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.

【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．

8. 下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．

【答案】图见解析，.

【解析】

【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令，取点、代入函数解析式进行计算，即可得出结果.

【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：

结合函数图像选择一次函数建立函数模型，

设函数解析式为，

取点、代入函数解析式中，

得，解得，，

故函数解析式为，经检验满足题意.