第五章 函数概念与性质（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）

第五章 函数概念与性质  能力提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

1．已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（    ）

A．f： B．f：

C．f： D．f：

【答案】D

【分析】根据函数的定义分别进行判断即可.

【详解】解：对A：当时，对应的为0,1,2，所以选项A不能构成函数；

对B：当时，对应的为0,1,4，所以选项B不能构成函数；

对C：当时，对应的为0,2,4，所以选项C不能构成函数；

对D：当时，对应的为,1,3，所以选项D能构成函数；

故选：D.

2．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A．(0，3) B．

C．(0，2] D．(0，2)

【答案】C

【分析】根据对任意，都有成立，得到函数在R上是减函数求解.

【详解】因为对任意，都有成立，

所以函数在R上是减函数，

所以 ，解得，

所以实数的取值范围是 (0，2].

故选：C

3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.

【详解】由题意得，，

所以①，

所以②，

①②联立可得：，即的周期为4，

又，，

所以且，解得，，即

所以.

故选：B

4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的概念依次讨论求解即可.

【详解】对于A选项，当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B．

5．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

7．下列函数中：①②③④偶函数的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据偶函数的定义：定义域关于原点对称且，判断各项是否为偶函数，进而确定正确选项.

【详解】①，定义域是，满足，所以是奇函数；

②，定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；

③，定义域是R，满足，所以是偶函数；

④，定义域是，当时，当时，满足，所以是偶函数．

故选：C.

8．定义在R上的函数满足：，．当时，，则的值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据题意，求得，得到函数是周期为4的函数，利用函数的周期得到，即可求解.

【详解】由题意，函数满足，可得

又由，可得，

进而可得，联立可得，

所以函数是周期为4的函数，

因为当时，，则.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法中正确为（    ）

A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4

B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为

C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件

D．函数与函数是同一个函数

【答案】AC

【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，

又二次函数的对称轴为，

所以，解得，故A正确；

对于B：当时，可得成立，满足题意，

当时，可得，解得，

综上k的取值范围为，故B错误；

对于C：当时，，所以，充分性成立，

若，则或，解得或，必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，

定义域不同，故不是同一函数，故D错误，

故选：AC

10．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．函数的最大值为

C．函数的最小值为 D．方程有无数个根

【答案】ACD

【分析】根据的意义，画出的图象，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】根据符号的意义，讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.

画函数的图象如图所示：

：根据定义可知，，，

即，所以正确；

：从图象可知，函数最高点处取不到，所以错误；

：函数图象最低点处函数值为，所以正确；

：从图象可知与的图象有无数个交点，即有无数个根，

所以正确．

故选：.

11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

E．

【答案】AB

【分析】利用函数单调性的定义：与同号，判断A、B、E的正误；而对于C、D选项，由于的大小不定，与的大小关系不能确定.

【详解】由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确，E错误；

对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．

故选：AB.

12．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C． D．的最小正周期为

【答案】BCD

【解析】根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】A中，对于函数，有，

所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；

B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，

若不为整数，则也不为整数，则有，

综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；

C中，若为整数，则，不为整数，则，

综上函数是整数，则，所以C正确；

D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，

总之有，所以函数的周期为1，

若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，

所以函数的最小正周期为1，所以D正确.

故选：BCD.

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.

【详解】解：因为函数（）是偶函数，所以，

所以，得，所以，

故答案为：0.

14．已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15．已知定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围为___________.

【答案】.

【分析】由题意，得到，且在区间上单调递减，在区间为单调递减函数，把，转化为，结合单调性，即可求解.

【详解】因为函数是上的奇函数，所以，

又由在区间上单调递减，所以在区间也是单调递减函数，

又因为不等式，即，

即，

可得，即，解得，

即实数m的取值范围为.

16．已知函数f（x），则f （5）＝_____；函数f（x）的定义域为_____．

【答案】     1     [，2）∪（2，+∞）．

【解析】第一个空：直接代入求值即可；

第二个空：根据被开偶次方根被开方数为非负实数，分式的分母不为零进行求解即可.

【详解】由f（x），得f （5），

由，解得x且x≠2．

∴函数f（x）的定义域为[，2）∪（2，+∞）．

故答案为：1；[，2）∪（2，+∞）．

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、已知，函数．

(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；

(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；

(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)递增区间为，.

(2).

(3)

【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.

（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；

（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.

(1)

解（1）当时，，

即，则，

故函数的递增区间为，递减区间为，.

(2)

由题可知，

当时，在上递减，在递增，则；

当时，在上递减，则，

综上：．

(3)

（3）令，只需，

当，且时，，在上单调递减，

∴，

当时，，在上单调递增，

∴；

当时，，在上递减，∴，

综上可知，，所以．

18、已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

（1）

解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

（2）

证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

（3）

，

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

19．给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A．

(1)判断的图象是否关于点成中心对称；

(2)当时，求证：．

(3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

【答案】(1)的图象关于点成中心对称

(2)证明见解析

(3)

【分析】由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。

可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明

由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解，

即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得

（1）

因为，

所以．

由定义可知，的图象关于点成中心对称．

（2）

设，

则，

所以在上是增函数，

所以在上是增函数，

所以当时，，即．

（3）

因为构造过程可以无限进行下去，

所以对任意恒成立，

即关于x的方程无解，

即关于x的方程无解或有唯一解，

所以或，解得．

20．（1）函数与的图象之间有什么关系？

（2）已知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：

①；        ②；

③；        ④.

【答案】（1）函数与的图象关于y轴对称.

（2）答案见解析.

【分析】（1）从图象上的点的变换可以推导出图象的变换；（2）①是原图象关于y轴对称得到的；②是原图象关于x轴对称得到的；③是原图象向上平移一个单位长度得到的；④是原图象向右平移两个单位长度得到的.

【详解】（1）函数与的图象关于y轴对称.

理由如下：在上任取一点，所以，可得点在的图象上，点和点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称.

（2）①，如图1

②，如图2

③，如图3

④，如图4

21．设，已知，．

（1）若是奇函数，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【分析】（1）根据，即可求得的值；

（2）当时，令，利用放缩法求得函数，即可证得；

（3）先求的值域，得到，再根据，当时，求得实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得，

当时，函数，可得,

所以为奇函数，满足题意，所以．

（2）当时，令，

则

，

所以．

（3）先求的值域，

由，可得，得到，

即，解得．

所以．

又由任意的，当时，可得，

所以，所以，

即．

22、已知函数为奇函数.

（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；

（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【分析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；

（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，

令，可得，解得，

所以，此时满足，

所以函数是奇函数，所以.

任取，且，则，

因为，

即，所以是上的增函数.

（2）因为为奇函数，且的解集非空，

可得的解集非空，

又因为在上单调递增，所以的解集非空，

即在上有解，则满足，解得，

所以实数的取值范围.

.