苏教版高中数学必修第一册第5章章末综合提升课件+学案+测评含答案

类型1　函数值域的求法

函数的值域是所有值域问题的基础，其他非函数问题的值域往往要通过转化的思想方法转化为函数的值域问题来处理．函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．

【例1】　求下列函数的值域：

(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋；

(4)y＝.

[思路点拨]　(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解；(4)可以转化为关于x的一元二次方程，利用判别式法求出值域，也可以创造条件利用基本不等式求出最值，得到值域．

[解]　(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．

(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋.而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，

∴y＝t2＋＋t＝2－.

∵t≥0，∴y≥，

∴函数f(x)＝x＋的值域为.

(4)法一(判别式法)：由y＝得x2－yx＋1＝0，因为关于x的方程有实数根，所以Δ＝y2－4≥0，解得y≥2或y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

法二(基本不等式法)：函数y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，

当x>0时，y＝x＋≥2当且仅当x＝1时取等号．

当x<0时，y＝x＋＝－≤－2当且仅当x＝－1时取等号．

所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

常见的求值域的方法

(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}．

(2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．

(3)反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪.

(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．

(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．

(6)判别式法：对于形如：y＝的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域．

(7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解．

[跟进训练]

1．(1)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为________、________.

(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

(1)10　6　(2)1　[(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8.

在[－1,1)上，f(x)<f(1)＝1＋7＝8，∴f(x)在[－1,2]上单调递增，∴f(x)max＝f(2)＝2×2＋6＝10，f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6.

(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，

∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1.]

类型2　函数性质的应用

函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有涉及，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．

【例2】　函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.

[思路点拨]　(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉“f”，转化为t的不等式求解．

[解]　(1)由题意，得即⇒

∴f(x)＝，经检验，符合题意．

(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1<x2，则

f(x2)－f(x1)＝－＝.

∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1＋x>0,1＋x>0.

又∵－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，

∴f(x)在(－1,1)上是增函数．

(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．

∵f(x)在(－1,1)上是增函数，

∴－1<t－1<－t<1，

解得0<t<.

故原不等式的解集为.

函数单调性与奇偶性应用常见题型

(1)用定义判断或证明单调性和奇偶性．

(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．

(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．

[跟进训练]

2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

[解]　(1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.

令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．

(2)任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0.

由题意，得f(x2－x1)<0，

且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]

＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]

＝－f(x2－x1)>0，

即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．

所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6.

类型3　函数的图象与数形结合思想

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．

【例3】　(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)

(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．

[思路点拨]　(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．

(1)③　(2)1<m<5　[(1)由f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f(x)·g(x)为奇函数，又x∈(－3,0)时，f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．

(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，

则f(x)＝

作出f(x)的图象，如图所示．

由图象可知，当1<m<5时，f(x)的图象与y＝m有4个交点，即方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根．]

作函数图象的方法

方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．

注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．

方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．

[跟进训练]

3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．

2　[首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．

从图象观察可得函数f(x)的表达式：

f(x)＝

f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.]

1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]　　　　　　 B．[－1,1]

C．[0,4] D．[1,3]

D　[∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.

故选D.]

2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且ƒ(2)＝0，则满足xƒ(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]

D　[法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D.

法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.]

3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.

12　[f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]