2020-2021学年第5章 函数概念与性质本章综合与测试练习

专题强化练6　函数的基本性质及应用

一、选择题

1.(2019江苏大丰新丰中学高一上学期期中,)若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(1)+f(0)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5 B.6

C.-5 D.-6

2.(2020南京师范大学附属中学高一上学期期中,)若奇函数f(x)满足:①f(x)在(0,+∞)上单调递增;②f(1)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为(　　)

A.(-∞,-1)

B.(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(1,+∞)

3.(2019江苏南京金陵中学高一月考,)设f(x)=x3++2,其中k∈R.若函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,则函数f(x)在区间[1,2]上有(　　)

A.最小值-2 B.最小值0

C.最小值4 D.最大值2

4.(2019江苏扬州仪征中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,-2) 

B.(-∞,-1)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-2]

5.(2019江苏南京高一第一学期期中,)已知定义在R上的奇函数y=f(x),当x≥0时,f(x)=|x-a|-a,若对任意实数x,有f(x-1)≤f(x)恒成立,则正数a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

6.(2019江苏泰州中学高一上学期期中,)函数f(x)的定义域为区间D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f(1-x)=1-f(x);③f f(x),则f =(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题

7.(2019江苏阜宁中学高一月考,)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1)在区间(-∞,2]上是减函数,若对任意的x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1)-f(x2)|≤4成立,则实数a的取值范围为　　　　. 

8.(2019江苏常州高一第一学期期中,)已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a|+|x-2a|-3|a|),若集合{x|f(x-1)-f(x)≥0,x∈R}=⌀,则实数a的取值范围是　　　　. 

9.(2020江苏苏州高一上学期期末,)已知函数f(x)=(x2-x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称,则a+b=　　　　;函数y=f(x)的最小值为　　　　. 

三、解答题

10.(2020江苏徐州高一上学期期末,)已知函数f(x)=,x∈R,且x≠2.

(1)判断并证明f(x)在区间(0,2)上的单调性;

(2)若函数g(x)=x2-2ax与函数f(x)在区间[0,1]上有相同的值域,求实数a的值;

(3)函数h(x)=(1-3b2)x+5b,b≥1,x∈[0,1],若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=h(x2)成立,求实数b的取值范围.

答案全解全析

专题强化练6　函数的基本性质及应用

一、选择题

1.C　∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(0)=0,

f(1)=-f(-1)=-[(-1)2+3+1]=-5,

∴f(1)+f(0)=-5.故选C.

2.D　∵(x+1)f(x)>0,

∴或

∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,

∴f(x)的大致图象如图所示.

结合图象得(x+1)f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(1,+∞).故选D.

3.B　设g(x)=x3+,则g(x)=f(x)-2,

∵f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,

∴g(x)在区间[-2,-1]上的最大值为2.

∵g(x)=x3+是奇函数,

∴g(x)在区间[1,2]上的最小值为-2,

∴函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0.故选B.

4.D　函数f(x)=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+(a-1)·(a+1)=(x-a-1)·(x-a+1),

由f(x)<0,即[x-(a-1)]·[x-(a+1)]<0,解得a-1<x<a+1,

∵f(f(x))<0,∴a-1<f(x)<a+1,①

又f(x)=(x-a)2-1,

当x=a时,f(x)取得最小值-1,即函数的值域为[-1,+∞),若不等式的解集为空集,

则①的解集为空集,

即(a-1,a+1)与f(x)值域的交集为空集,

则a+1≤-1,解得a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2],故选D.

5.C　∵a>0,

∴x≥0时,f(x)=|x-a|-a=

且f(x)是R上的奇函数,

∵f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到,且对任意的实数x,有f(x-1)≤f(x)恒成立,

∴f(x-1)的图象恒在f(x)的图象下方,大致图象如图所示.

∴A(2a,0),B(-2a+1,0),

∴2a≤-2a+1,解得a≤,∴正数a的取值范围为.

6.C　若f(0)=0且f(1-x)=1-f(x),

则令x=1,得f(1)=1,

令x=,得f .

又f f(x),

令x=1,得f,

令x=,得f,

同理可得, f,

f,

f,

f,

ff ,

另一方面,f,

f,

f,

f,

f,

f.

∵当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),且,

∴f≤f≤f,

∴f.

二、填空题

7.答案　[2,3]

解析　∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,其图象的对称轴为直线x=a,∴a≥2,

∴a-1≥1,

∵对称轴更靠近左端点,

∴f(x)max=f(1)=6-2a,

f(x)min=f(a)=5-a2,

∵对任意的x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1)-f(x2)|≤4成立,

∴f(x)max-f(x)min≤4,

∴(6-2a)-(5-a2)≤4,

解得-1≤a≤3,

综上,实数a的取值范围是[2,3].

8.答案　

解析　由{x|f(x-1)-f(x)≥0,x∈R}=⌀,得f(x-1)-f(x)<0恒成立,即f(x-1)<f(x)恒成立,

若a≤0,x≥0,则f(x)=(x-a+x-2a+3a)=x,

∵f(x)是定义在实数集R上的奇函数,

∴当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(-x)=x,故f(x)=x,此时函数f(x)为增函数,

则f(x-1)<f(x)恒成立.

若a>0,x≥0,则当0≤x≤a时,f(x)=[-x+a-(x-2a)-3a]=-x;

当a<x≤2a时,f(x)=[x-a-(x-2a)-3a]=-a;

当x>2a时,f(x)=(x-a+x-2a-3a)=x-3a.

故当x≥0时,函数f(x)的最小值为-a,

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,

∴当x<0时,f(x)的最大值为a,

作出函数的大致图象,如图所示.

∵f(x-1)<f(x)恒成立,

∴函数f(x-1)的图象恒在函数f(x)的图象的下方,

结合图象可得1-3a>3a,即0<a<,

综上,实数a的取值范围是.

9.答案　5;-

解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+x)=f(2-x).

当x=1时, f(3)=f(1),即(9-3)×(9+3a+b)=0,①

当x=2时, f(4)=f(0),即(16-4)×(16+4a+b)=0,②

联立①②可得a=-7,b=12,所以a+b=5.

所以f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x-1)·(x-3)(x-4),

所以f(x+2)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)

=(x2-1)(x2-4)=(x2)2-5x2+4

=,

所以f(x+2)min=-.

因为函数图象左右平移不改变函数的值域,所以y=f(x)的最小值为-.

三、解答题

10.解析　(1)f(x)在区间(0,2)上为减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)

=

=

=

=

=,

因为0<x1<x2<2,所以x1-2<0,x2-2<0,x1-x2<0,x1(x2-2)-2x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,2)上为减函数.

(2)因为f(x)在区间[0,1]上递减,所以其值域为[-1,0],即x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0].因为g(0)=0为最大值,所以最小值只能为g(1)或g(a).若g(1)=-1,则解得a=1;若g(a)=-1,则解得a=1.

综上,a=1.

(3)当b≥1,x∈[0,1]时,h(x)在区间[0,1]上单调递减,故h(x)在[0,1]上的最大值为h(0)=5b,最小值为h(1)=1-3b2+5b.由(2)知f(x)在[0,1]上的值域为[-1,0],所以

所以解得b≥2.