第五章 函数概念与性质（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）

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第五章 函数概念与性质  能力提升测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、   选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（    ）A．f： B．f：C．f： D．f：【答案】D【分析】根据函数的定义分别进行判断即可.【详解】解：对A：当时，对应的为0,1,2，所以选项A不能构成函数；对B：当时，对应的为0,1,4，所以选项B不能构成函数；对C：当时，对应的为0,2,4，所以选项C不能构成函数；对D：当时，对应的为,1,3，所以选项D能构成函数；故选：D.2．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）A．(0，3) B．C．(0，2] D．(0，2)【答案】C【分析】根据对任意，都有成立，得到函数在R上是减函数求解.【详解】因为对任意，都有成立，所以函数在R上是减函数，所以 ，解得，所以实数的取值范围是 (0，2].故选：C3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得，，所以①，所以②，①②联立可得：，即的周期为4，又，，所以且，解得，，即所以.故选：B4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的概念依次讨论求解即可.【详解】对于A选项，当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.故选：B．5．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．7．下列函数中：①②③④偶函数的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据偶函数的定义：定义域关于原点对称且，判断各项是否为偶函数，进而确定正确选项.【详解】①，定义域是，满足，所以是奇函数；②，定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；③，定义域是R，满足，所以是偶函数；④，定义域是，当时，当时，满足，所以是偶函数．故选：C.8．定义在R上的函数满足：，．当时，，则的值是（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意，求得，得到函数是周期为4的函数，利用函数的周期得到，即可求解.【详解】由题意，函数满足，可得又由，可得，进而可得，联立可得，所以函数是周期为4的函数，因为当时，，则.故选：C.  二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列说法中正确为（    ）A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件D．函数与函数是同一个函数【答案】AC【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，又二次函数的对称轴为，所以，解得，故A正确；对于B：当时，可得成立，满足题意，当时，可得，解得，综上k的取值范围为，故B错误；对于C：当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故D错误，故选：AC10．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）A． B．函数的最大值为C．函数的最小值为 D．方程有无数个根【答案】ACD【分析】根据的意义，画出的图象，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】根据符号的意义，讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.画函数的图象如图所示：：根据定义可知，，，即，所以正确；：从图象可知，函数最高点处取不到，所以错误；：函数图象最低点处函数值为，所以正确；：从图象可知与的图象有无数个交点，即有无数个根，所以正确．故选：.11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．E．【答案】AB【分析】利用函数单调性的定义：与同号，判断A、B、E的正误；而对于C、D选项，由于的大小不定，与的大小关系不能确定.【详解】由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确，E错误；对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．故选：AB.12．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C． D．的最小正周期为【答案】BCD【解析】根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.【详解】A中，对于函数，有，所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，若不为整数，则也不为整数，则有，综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；C中，若为整数，则，不为整数，则，综上函数是整数，则，所以C正确；D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，总之有，所以函数的周期为1，若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，所以函数的最小正周期为1，所以D正确.故选：BCD. 三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.【答案】0【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.【详解】解：因为函数（）是偶函数，所以，所以，得，所以，故答案为：0.14．已知，函数若，则___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.15．已知定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围为___________.【答案】.【分析】由题意，得到，且在区间上单调递减，在区间为单调递减函数，把，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】因为函数是上的奇函数，所以，又由在区间上单调递减，所以在区间也是单调递减函数，又因为不等式，即，即，可得，即，解得，即实数m的取值范围为. 16．已知函数f（x），则f （5）＝_____；函数f（x）的定义域为_____．【答案】     1     [，2）∪（2，+∞）．【解析】第一个空：直接代入求值即可；第二个空：根据被开偶次方根被开方数为非负实数，分式的分母不为零进行求解即可.【详解】由f（x），得f （5），由，解得x且x≠2．∴函数f（x）的定义域为[，2）∪（2，+∞）．故答案为：1；[，2）∪（2，+∞）．  四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)递增区间为，.(2).(3) 【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.(1)解（1）当时，，即，则，故函数的递增区间为，递减区间为，.(2)由题可知，当时，在上递减，在递增，则；当时，在上递减，则，综上：．(3)（3）令，只需，当，且时，，在上单调递减，∴，当时，，在上单调递增，∴；当时，，在上递减，∴，综上可知，，所以．   18、已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；（2）利用函数单调性定义证明； （3）将，转化为，利用单调性求解.（1）解：因为函数，恒成立，所以，则，此时，所以，解得，所以；（2）证明：设，则，，，且，则，则，即，所以函数是增函数．（3），，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．    19．给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A．(1)判断的图象是否关于点成中心对称；(2)当时，求证：．(3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．【答案】(1)的图象关于点成中心对称(2)证明见解析(3) 【分析】由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解，即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得（1）因为，所以．由定义可知，的图象关于点成中心对称．（2）设，则，所以在上是增函数，所以在上是增函数，所以当时，，即．（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意恒成立，即关于x的方程无解，即关于x的方程无解或有唯一解，所以或，解得．  20．（1）函数与的图象之间有什么关系？（2）已知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：①；        ②；③；        ④.【答案】（1）函数与的图象关于y轴对称.（2）答案见解析.【分析】（1）从图象上的点的变换可以推导出图象的变换；（2）①是原图象关于y轴对称得到的；②是原图象关于x轴对称得到的；③是原图象向上平移一个单位长度得到的；④是原图象向右平移两个单位长度得到的.【详解】（1）函数与的图象关于y轴对称.理由如下：在上任取一点，所以，可得点在的图象上，点和点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称.（2）①，如图1②，如图2③，如图3④，如图4     21．设，已知，．（1）若是奇函数，求的值；（2）当时，证明：；（3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）根据，即可求得的值；（2）当时，令，利用放缩法求得函数，即可证得；（3）先求的值域，得到，再根据，当时，求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得，当时，函数，可得,所以为奇函数，满足题意，所以．（2）当时，令，则，所以．（3）先求的值域，由，可得，得到，即，解得．所以．又由任意的，当时，可得，所以，所以，即．      22、已知函数为奇函数. （1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，令，可得，解得，所以，此时满足，所以函数是奇函数，所以.任取，且，则，因为，即，所以是上的增函数.（2）因为为奇函数，且的解集非空，可得的解集非空，又因为在上单调递增，所以的解集非空，即在上有解，则满足，解得，所以实数的取值范围..