新教材数学苏教版必修第一册第5章 5.1 第2课时　函数的图象 课件

第2课时　函数的图象

知识点1　函数的图象

将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．

1．函数的图象是否可以关于x轴对称？

[提示]　不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．

2．函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？

[提示]　0或1个，具体来说，当m∈A，由函数的定义，它们有唯一交点，当mA，它们无交点．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．                             (　　)

(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象．                            (　　)

[提示]　(1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f(x)有一个交点，若a[m，n]，则x＝a与y＝f(x)无交点，故(1)错误．

(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f(x)的图象．

[答案]　(1)×　(2)×

知识点2　作图、识图与用图

(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．

(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－．

2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有________．(填序号)

①　　　　　　②

③　　　　　　④

②④　[能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]

类型1　作函数的图象

【例1】　作出下列函数的图象，并求函数的值域．

(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；

(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．

[解]　(1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，

∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．

由图象可知，值域为{5,4,2,1}．

(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，

故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，

x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．

[母题探究]

(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？

[解]　图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．

∵x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝5，

∴值域变为[1,5)．

函数图象的画法

1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．

2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．

3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．

1．画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0)；

(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．

[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．

①　　　　　②

类型2　函数图象的应用

【例2】　已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：

(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；

(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；

(3)求f(x)的图象与y＝x的图象的交点个数；

(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．

[解]　(1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，

∴f(－2)<f(3)<f(0)．

(2)在x∈[－1,2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，

∴f(x)∈[0,4]．

(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f(x)与y＝x有两个交点．

(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．

∴0≤k<3或k＝4．

1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．

2．常借助函数图象求解以下几类问题

(1)比较函数值的大小；

(2)求函数的值域；

(3)分析两函数图象交点个数；

(4)求解不等式或参数范围．

2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．

[解]　原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，

即(x－2)2＝1－m，

设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：

①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，

∴m＝1或－3<m≤0．

(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)

类型3　利用图象的平移变换作函数图象

【例3】　用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．

y＝2＋的图象与y＝的图象有怎样的关系？

[提示]　两者图象完全一样，位置不同.y＝2＋可以看作y＝先向右移动1个单位，又向上移动2个单位得到.

[解]　

从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

函数图象的平移变换

1左右平移：a＞0时，y＝fx的图象向左平移a个单位得到y＝fx＋a的图象；a＞0时，y＝fx的图象向右平移a个单位得到y＝fx－a的图象.

2上下平移：b＞0时，y＝fx的图象向上平移b个单位得到y＝fx＋b的图象；b＞0时，y＝fx的图象向下平移b个单位得到y＝fx－b的图象.

3．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．

1　[y＝y＝y＝－b过(0,0)，故－b＝0，∴1－ab＝0，∴ab＝1．]

1．(多选题)对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，不能构成从A到B的函数的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

ABC　[A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中出现“一对多”的关系，不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；D中对应关系符合函数定义．]

2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是(　　)

A　 　　B　　　　C　　　　D

B　[y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2．故选B．]

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．

[－2,3]　[由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]

4．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：

(1)f(0)＝________；

(2)f(－1)＝________；

(3)f(－3)＝________；

(4)f(－2)＝________；

(5)f(2)＝________；

(6)f(4)＝________；

(7)若2<x1≤x2<4，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．

(1)4　(2)5　(3)0　(4)3　(5)2　(6)6　(7)f(x1)≤f(x2)　[由图象知f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，f(2)＝2，f(4)＝6，当2<x1≤x2<4时，f(x1)≤f(x2)．]

5．画出函数f(x)＝x－x2(－1≤x≤1)的简图并指出值域．

[解]　f(x)图象的简图如图所示．

观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是，即f(x)的值域是．

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．你认为作函数图象的具体方法是什么？

[提示]　先确定函数的定义域，在定义域内化简函数式，再列表、描点、连线．

2．作函数图象时要注意哪些问题？

[提示]　注意关键点，如：与坐标轴的交点、最高点、最低点，还要注意关键点是实心还是空心．

3．利用函数图象解决函数问题的关键是什么？

[提示]　准确作出函数图象．

4．判断所给图象是否为函数图象的方法是什么？

[提示]　作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象为函数图象．否则不是．