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    (新)苏教版高中数学必修第一册学案:第5章 章末综合提升(含解析)
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    苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀导学案及答案

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀导学案及答案,共8页。




    [巩固层·知识整合]





    [提升层·题型探究]


    函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,一旦函数的定义域和对应关系确定了,值域也就确定了.而求函数的值域并没有统一的方法,如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合,那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域;如果函数的定义域是一个无限数集,那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域.


    【例1】 求下列函数的值域:


    (1)y=eq \r(2x);(2)y=eq \f(2x-1,x+3);(3)f(x)=x+eq \r(3x-2);


    (4)y=eq \f(x2+1,x).


    [思路点拨] (1)用直接法(观察法);(2)所求函数解析式为分式,因此可利用分离系数法或反解法;(3)中含有根式,可利用换元法求解;(4)可以转化为关于x的一元二次方程,利用判别式法求出值域,也可以创造条件利用基本不等式求出最值,得到值域.


    [解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数,得2x≥0,即x≥0.所以函数y=eq \r(2x)的定义域为[0,+∞),因此eq \r(2x)≥0,所以函数y=eq \r(2x)的值域为[0,+∞).


    (2)法一(分离系数法):y=eq \f(2x-1,x+3)=eq \f(2x+3-7,x+3)=2+eq \f(-7,x+3).而eq \f(-7,x+3)≠0,所以2+eq \f(-7,x+3)≠2,因此函数y=eq \f(2x-1,x+3)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).


    法二(反解法):因为分式的分母不能为零,所以x+3≠0,即x≠-3,所以函数y=eq \f(2x-1,x+3)的定义域为{x∈R|x≠-3}.又由y=eq \f(2x-1,x+3),得x=eq \f(3y+1,2-y).而分式的分母不能为零,所以2-y≠0,即y≠2.所以函数y=eq \f(2x-1,x+3)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).


    (3)令eq \r(3x-2)=t,则t≥0,x=eq \f(t2+2,3)=eq \f(1,3)t2+eq \f(2,3),


    ∴y=eq \f(1,3)t2+eq \f(2,3)+t=eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t+\f(3,2)))eq \s\up12(2)-eq \f(1,12).


    ∵t≥0,∴y≥eq \f(2,3),


    ∴函数f(x)=x+eq \r(3x-2)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),+∞)).


    (4)法一(判别式法):由y=eq \f(x2+1,x)得x2-yx+1=0,因为关于x的方程有实数根,所以Δ=y2-4≥0,解得y≥2或y≤-2,所以该函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).


    法二(基本不等式法):函数y=eq \f(x2+1,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},


    当x>0时,y=x+eq \f(1,x)≥2当且仅当x=1时取等号.


    当x<0时,y=x+eq \f(1,x)=-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-x+\f(1,-x)))≤-2当且仅当x=-1时取等号.


    所以该函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).





    常见的求值域的方法


    1直接法观察法:对于有些函数直接求出函数值,并将所有函数值组成集合,就得到函数的值域.例如求函数fx=5x+1x∈{1,2,3,4}的值域,只需将所有自变量的函数值都求出来,即可得到函数fx的值域为{6,11,16,21}.


    2分离常数法:对于一些分式函数,可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式,然后根据分式的特点去求函数的值域.





    4图象法:通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.


    5换元法:根据解析式的特点,可将解析式中某个关于x的整体式设为t,转化为关于t的某种简单的基本初等函数,再确定t的取值范围,进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.


    6判别式法:对于形如:的函数,fx、gx是一次函数或二次函数,且至少一个二次函数可以将方程转化为关于x的整式方程,利用一元二次方程有实数根,利用根的判别式不小于零,得到关于y的不等式,解出其解集,就是函数的值域.


    7基本不等式法:创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值,再进一步求解.





    eq \([跟进训练])


    1.(1)(一题两空)函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+7,x∈[-1,1,,2x+6,x∈[1,2],))则f(x)的最大值与最小值分别为 、 .


    (2)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 .


    (1)10 6 (2)1 [(1)f(x)在[1,2]和[-1,1)上分别递增,而且在[1,2]上,f(x)min=f(1)=8.


    在[-1,1]上,f(x)

    (2)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,对称轴为x=2,


    ∴在[0,1]上,f(x)单调递增,∴f(x)min=f(0)=a=-2,


    ∴f(x)max=f(1)=-1+4+a=4-3=1.]


    函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性,从命题形式上看,抽象函数、具体函数都有涉及,其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点,利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点.


    【例2】 函数f(x)=eq \f(ax+b,1+x2)是定义在(-1,1)上的奇函数,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(2,5).


    (1)确定函数f(x)的解析式;


    (2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;


    (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.


    [思路点拨] (1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解;(3)利用奇偶性和单调性去掉f,转化为t的不等式求解.


    [解] (1)由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0=0,,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=\f(2,5),))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,1+02)=0,,\f(\f(a,2)+b,1+\f(1,4))=\f(2,5)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=1,,b=0.))


    ∴f(x)=eq \f(x,1+x2),经检验,符合题意.


    (2)证明:任取x1,x2∈(-1,1)且x1

    f(x2)-f(x1)=eq \f(x2,1+x\\al(2,2))-eq \f(x1,1+x\\al(2,1))=eq \f(x2-x11-x1x2,1+x\\al(2,1)1+x\\al(2,2)).


    ∵-10,1+xeq \\al(2,1)>0,1+xeq \\al(2,2)>0.


    又∵-10,


    ∴f(x2)-f(x1)>0,故f(x2)>f(x1),


    ∴f(x)在(-1,1)上是增函数.


    (3)原不等式可化为f(t-1)<-f(t)=f(-t).


    ∵f(x)在(-1,1)上是增函数,


    ∴-1

    解得0

    故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(t\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




    函数单调性与奇偶性应用常见题型


    1用定义判断或证明单调性和奇偶性.


    2利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.


    3利用函数的单调性和奇偶性比较大小,解不等式.


    4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.





    eq \([跟进训练])


    2.设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.


    (1)求证:f(x)是奇函数;


    (2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由.


    [解] (1)令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),


    即f(0)=2f(0),所以f(0)=0.


    令y=-x,则有0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数.


    (2)任取-3≤x10.


    由题意,得f(x2-x1)<0,


    且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]


    =f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]


    =-f(x2-x1)>0,


    即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-3,3]上为减函数.


    所以函数f(x)在[-3,3]上有最值,最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=3f(1)=-6.





    函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出.这体现了数形结合.所以我们应该熟悉一些函数的图象,做到应用自如.与图象相关的题目有:知式选图(作图),知图选式,比较大小,求单调区间,判断根(交点)的个数等.


    【例3】 (1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示,则f(x)·g(x)的图象可能是 .(填序号)








    (2)若方程x2-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则m的取值范围是 .


    [思路点拨] (1)利用函数的奇偶性进行选择;(2)作出函数的图象,观察图象即可.


    (1)③ (2)10,g(x)>0,所以f(x)·g(x)>0,只有③符合.


    (2)令f(x)=x2-4|x|+5,


    则f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-4x+5, x≥0,,x2+4x+5, x<0,))


    作出f(x)的图象,如图所示.





    由图象可知,当1




    作函数图象的方法


    方法一:描点法——求定义域;化简;列表、描点、连光滑曲线.


    注意:要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.


    方法二:变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.





    eq \([跟进训练])


    3.对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,eq \f(3,2)x+eq \f(1,2),x2-4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是 .


    2 [首先应理解题意,“函数f(x)表示-x+3,eq \f(3,2)x+eq \f(1,2),x2-4x+3中的较大者”是对同一个x值而言,函数f(x)表示-x+3,eq \f(3,2)x+eq \f(1,2),x2-4x+3中最大的一个.


    如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).





    从图象观察可得函数f(x)的表达式:


    f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-4x+3,x≤0,,-x+3,05.))


    f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2.]


    函数值域的求法
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