培优课　与对数函数有关的复合函数

与对数函数有关的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题是本部分知识的常考题，下面通过例题对这三类问题加以剖析归纳.

类型一　对数型复合函数的单调性问题

例1 (1)求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间.

(2)若函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.

解　(1)设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1.

由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，

又y＝log t在定义域内单调递减，

因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞).

(2)由已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2，＋∞)上单调递增，

设t＝x2＋ax－a－1，其图象为开口向上的抛物线，

因而解得a>－3.

故实数a的取值范围为(－3，＋∞).

类型二　对数型复合函数的奇偶性问题

例2 已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x).

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式f(x)>1的解集.

解　(1)要使函数f(x)有意义，

则解得－2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(－2，2).

(2)f(x)为奇函数，证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为(－2，2)，

设任意的x∈(－2，2)，则－x∈(－2，2)，

且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)＝－f(x)，

故f(x)为奇函数.

(3)因为f(x)在定义域(－2，2)上是增函数，所以f(x)>1等价于>10，

解得x>.

所以不等式f(x)>1的解集是.

类型三　与对数函数有关的值域问题

例3 (1)已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.

答案　[1，＋∞)

解析　令g(x)＝mx2＋2mx＋1，值域为A.

∵函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域为R.

∴(0，＋∞)⊆A.

当m＝0时，g(x)＝1，则f(x)的值域不为R，不满足条件；

当m≠0时，解得m≥1，

故m的取值范围为[1，＋∞).

(2)求函数y＝log(8－2x－x2)的值域；

解　设u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9≤9，又u>0，∴0<u≤9.

∵y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，

∴logu≥log9＝－2，

∴y＝log(8－2x－x2)的值域为[－2，＋∞).