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- 19.2 正比例函数 试卷 试卷 3 次下载
- 19.2 待定系数法求一次函数的解析式 试卷 试卷 6 次下载
- 19.2 一次函数的实际应用问题 试卷 7 次下载
- 人教版八年级数学下册 第十九章一次函数单元检测卷 试卷 9 次下载
初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀达标测试
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀达标测试，共54页。试卷主要包含了3 一次函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.3 一次函数的图象与性质
题型一 一次函数的概念
【例题1】（2022秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）
【变式1-1】（2021春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x−1 B．y＝x2+3
C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x
【变式1-2】（2022秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y=1x+2 B．y＝﹣2x
C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
【变式1-3】（2021秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4
【变式1-4】（2022春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-5】（2022秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-6】（2022春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 利用一次函数的定义求字母的值
【例题2】（2022春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
【变式2-1】（2022秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 ．
【变式2-2】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值
是（ ）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 ．
【变式2-4】（2022秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝ ．
【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【变式2-6】（2022春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
题型三 画一次函数的图象
【例题3】（2021春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．
（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．
【变式3-4】（2022春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．
（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【变式3-5】（2021春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系
【例题4】（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【变式4-1】（2022秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【变式4-2】（2022秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2
【变式4-3】（2022秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【变式4-4】（2022秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-5】（2021秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-6】（2022秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-7】（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-8】（2022秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 一次函数与正比例函数之间的关系
【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【变式5-1】（2022秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到
C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到
【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 ．
【变式5-3】（2022秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 ．
【变式5-4】（2021春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【变式5-5】（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【变式5-6】（2022秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．
（1）求平移后的函数表达式；
（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
题型六 利用一次函数的性质解决问题
【例题6】（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
【变式6-1】（2022秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经
过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【变式6-2】（2022秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【变式6-3】（2022秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a 2．（填＞，＜，＝）
【变式6-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式6-5】（2022秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项
是（ ）
A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）
【变式6-7】（2021秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．
（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），
（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；
（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
题型七 一次函数的平移
【例题7】（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）
A．将直线l1向上平移6个单位
B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位
D．将直线l1向上平移4个单位
【变式7-1】（2022秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式
是（ ）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9
【变式7-2】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【变式7-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【变式7-4】（2022秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【变式7-5】（2022秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将1向右平移4个单位长度
B．将1向左平移4个单位长度
C．将1向上平移4个单位长度
D．将1向下平移4个单位长度
【变式7-6】（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【变式7-7】（2022•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 ．
【变式7-8】（2022秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
题型八 一次函数的图象上点的坐标特征
【例题8】（2022秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（ ）
A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003
【变式8-1】（2022秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（ ）
A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）
【变式8-2】（2022春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；
（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．
【变式8-3】（2022秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
（1）求k的值；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 ．
【变式8-4】（2022秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．
（1）求点A、E的坐标及m的值；
（2）求证：OA⊥AE．
【变式8-6】（2022秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.3 一次函数的图象与性质答案
题型一 一次函数的概念
【例题1】（2022秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意；
B、x在分母中，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x是一次函数，故此选项符合题意；
D、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-1】（2021春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x−1 B．y＝x2+3
C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；
C．当k＝0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；
D．是一次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数．
【变式1-2】（2022秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y=1x+2 B．y＝﹣2x
C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．
【解答】解：A．y=1x+2右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；
B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；
C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；
D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-3】（2021秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4
【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．
【解答】解：y＝﹣x+4，y=25x，y=12−3x都是一次函数，而y=7x为反比例函数．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．
【变式1-4】（2022春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：①y＝x是一次函数；
②y＝11﹣2x是一次函数；
③y＝x2+2是二次函数；
④y=1x是反比例函数．
一次函数有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式1-5】（2022秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为y＝kx+b，其中k，b为常数，k≠0）即可得．
【解答】解：由一次函数的定义可知，函数y＝8x和s＝8t+1是一次函数，函数y=−8x和y＝8x2都不是一次函数，
即一次函数有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键．
【变式1-6】（2022春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y=18x，共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
题型二 利用一次函数的定义求字母的值
【例题2】（2022春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，
∴k−2≠0k2−3=1，
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 ．
【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1，
则m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，是解题关键．
【变式2-2】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值
是（ ）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，
∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 ．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．
【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，
由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
则m＝﹣2．
故答案为：m＝﹣2．
【点评】此题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题关键，难度不大，注意基础概念的掌握．
【变式2-4】（2022秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝ ．
【分析】根据一次函数的定义和性质列式计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（a−32）x|2﹣a|+a2+6的图象过一、二、三象限，
∴|2−a|=1a−32＞0a2+6＞0，
解得：a＝1或a＝3，
∵1−32=−12＜0，
∴a＝1不符合题意舍去，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．
【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得
3−|m|=1m−2≠0，
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；
（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x=12，
故当x=12时，y的值为3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式2-6】（2022春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠2；
（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
题型三 画一次函数的图象
【例题3】（2021春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．
（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．
【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝2，
因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）；
（2）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝﹣2，
因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）；
如图所示：
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法．
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：一次函数y＝x﹣1中，
∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限是解题的关键．
【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．
【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．
【解答】解：函数y＝﹣2x+1经过点（0，1），（12，0）．
图象如图所示：
【点评】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．
【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3；
先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1．
【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x．
当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．
将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3；
作直线y＝2x．
当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．
将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1．
方法二：作直线y＝﹣2x+3．
当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．
作直线y＝2x﹣1．
当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．
【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在．
【变式3-4】（2022春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．
（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；
（2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；
（3）根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得
m−2≠0|m−1|=1，
解得m＝0，
函数解析式为y＝﹣2x+4，
（2）∵y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0，
过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，
〇
（3）∵k＝﹣2，
∴y的值随x的值的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式3-5】（2021春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标．
（2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积．
【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示：
（1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2；
故A（2，0）、B（0，﹣2），
（2）由图象可知：
△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×2×2=2．
【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键．
题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系
【例题4】（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：如图所示，一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而减小，所以k＜0，
直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【变式4-2】（2022秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2
【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出﹣m＞0、n﹣2＞0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象经过第一、二、三象限，
∴−m＞0n−2＞0，
∴m＜0，n＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
【变式4-3】（2022秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】由图象得y随x的增大而减小，那么自变量系数应小于0；图象与y轴的交点在y轴的负半轴可以确定b的符号．
【解答】解：∵由图象得y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象性质：y随x的增大而减小，比例系数小于0，难度不大．
【变式4-4】（2022秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式4-5】（2021秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k＜0），b＝3，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式4-6】（2022秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、四象限，
C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意；
由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确；
B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误；
C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误；
D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【变式4-8】（2022秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
题型五 一次函数与正比例函数之间的关系
【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【分析】根据函数图象平移的法则得出平移后的解析式，求出k，b的值即可．
【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k，
∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，
∴k＝2，b＝﹣3k，
∴b＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位长度而得到
B．向左平移1个单位长度而得到
C．向右平移1个单位长度而得到
D．向下平移1个单位长度而得到
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 ．
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3，
∵平移后的直线与x轴交于（m，0），
∴0＝3m+3，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式5-3】（2022秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 ．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”即可确定平移后的函数表达式．
【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝﹣2x﹣3，
故答案为：y＝﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【变式5-4】（2021春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：上，1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式5-5】（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．
【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6，
令y＝0，即2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
令x＝0，得y＝6，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6），
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：12×3×6=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．
【变式5-6】（2022秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．
（1）求平移后的函数表达式；
（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b，
则由题意，得4＝3×1+b，
解得：b＝1．
∴函数解析式为：y＝3x+1．
（2）令x＝0，则y＝1；
令y＝0，则3x+1＝0，
解得x=−13，
∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（−13，0），（0，1）；
∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=12×13×1=16．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
题型六 利用一次函数的性质解决问题
【例题6】（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
【变式6-1】（2022秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经
过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴此函数图象必过二、四象限；
∵b＝﹣3＜0，
∴此函数图象与y轴相交于负半轴，
∴此函数图象经过二、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，此函数图象经过二、四象限；当b＜0时，此函数图象交y轴于负半轴．
【变式6-2】（2022秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【分析】由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜5，即可得出y2＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，﹣2＜5，
∴y2＜y1．
故答案为：y2＜y1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a 2．（填＞，＜，＝）
【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出a﹣2＜0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-5】（2022秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜1−2＜1，即可得出c＞a＞b．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y＝kx+m的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），且﹣1＜1−2＜1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项
是（ ）
A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3中，k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，
A、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B、∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、∵当y＝0时，x＝﹣3，∴与x轴交于（﹣3，0），原说法错误，故本选项符合题意；
D、∵当x＝0时，y＝﹣3，∴与y轴交于（0，﹣3），正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
【变式6-7】（2021秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．
（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【分析】（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，可得m﹣3＜0且2m+1≠0，依此即可求解；
（2）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限，要分情况讨论．
【解答】解：（1）由已知得，m﹣3＜0且2m+1≠0，
解得m＜3且m≠−12．
m的取值范围是m＜3且m≠−12；
（2）若图象经过第一、三象限，得2m+1＞0且m﹣3＝0，解得m＝3；
若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0m−3＞0，解得m＞3．
故m的取值范围是m≥3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），
（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；
（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．
【解答】解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴m﹣3＜0，
解得，m＜3；
（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，
∴2﹣m＜0，
解得，m＞2．
又m﹣3≠0即m≠3．
综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；
（3）∵函数图象经过二、三、四象限，
∴m−3＜02−m＜0，
解得，2＜m＜3；
（4）当m＝4时，该函数解析式为y＝x﹣2．
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2，
则该直线与两坐标轴所围成的面积是：12×|﹣2|×2＝2．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
题型七 一次函数的平移
【例题7】（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）
A．将直线l1向上平移6个单位
B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位
D．将直线l1向上平移4个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：设直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后的解析式为y＝﹣2x﹣2+k，
∵将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，
∴﹣2x﹣2+k＝﹣2x+4，
解得：k＝6，
故将l1向是平移6个单位长度．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
【变式7-1】（2022秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式
是（ ）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上+下﹣”即可确定．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后，
可得y＝﹣2x+7+2＝﹣2x+9，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【变式7-2】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，
即y＝2x﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式7-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：
y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，
即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式7-4】（2022秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2），
由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上，
∴2＝2×2+b，
∴b＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式7-5】（2022秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将1向右平移4个单位长度
B．将1向左平移4个单位长度
C．将1向上平移4个单位长度
D．将1向下平移4个单位长度
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．
【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），
∴6（x+a）﹣2＝6x+2，
解得：a=23，
故将直线y＝6x﹣2向左平移23个单位后得到直线y＝6x+2，
同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．
【变式7-6】（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝2x+b+3，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后得到y＝2x+b+3，
∵经过原点，
∴b+3＝0，
解得b＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
【变式7-7】（2022•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 ．
【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8，
∴k＝2，b＝8，
∴k+b＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
【变式7-8】（2022秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据平移的性质可设一次函数的表达式为y＝x+m，再把点A（1，2）代入求出m的值即可；
（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象由函数y＝x向左平移m个单位长度得到，
∴设一次函数的表达式为y＝x+m．
∵一次函数的图象经过点A（1，2），
∴2＝1+m，
解得m＝1；
（2）由（1）得一次函数的表达式为y＝x+1，
∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点B，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∴SAOB=12×1×2=1，
∴△AOB的面积为1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
题型八 一次函数的图象上点的坐标特征
【例题8】（2022秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（ ）
A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003
【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【解答】解：如图，
∵A1（1，1）在直线y=15x+b上，
∴b=45，
∴y=15x+45，
设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022），
则有y2=15x2+45，
y3=15x3+45，
…
y2021=15x2021+45，
又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，
∴x2＝2y1+y2，
x3＝2y1+2y2+y3，
…
x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
y2=12y1+1，
y3=12y1+12y2+1=32y2，
y4=32y3，
…
y2022=32y2021，
又∵y1＝1，
∴y2=32，
y3＝（32）2，
y4＝（32）3，
…
y2023＝（32）2022，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（ ）
A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）
【分析】根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据S△ABC＝△ABD+△ACD，可得点D到x轴的距离，代入直线y＝﹣4x+4，可得答案．
【解答】解：∵直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，0=43x+4，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB=32+42=5，
∵直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴当y＝0时，0＝﹣4x+4，解得x＝1，
∴C（1，0），
∴AC＝4，
过点D作DH⊥x轴于H，
∵S△ABC＝△ABD+△ACD，点D到直线AB的距离DE长为3，
∴12×4×4=12×5×3+12×4DH，
∴DH=14，
∴点D的纵坐标为14，
∵点D在线段BC：y＝﹣4x+4上，
∴14=−4x+4，解得x=1516，
∴点D的坐标为（1516，14）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式8-2】（2022春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；
（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围；
（2）利用两点法画出函数图象即可；
（3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）．
∴OA＝3，
∵x+y＝4，
∴y＝4﹣x，
∴S=12×3×y=32（4﹣x），
即S=−32x+6 （0＜x＜4）；
（2）画出函数S的图象如图：
（3）∵△OPA面积是5，
−32x+6＝5，
解得x=23，
∴y＝4−23=103，
∴点P的坐标为(23，103)．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【变式8-3】（2022秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
（1）求k的值；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 ．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）利用两点画出函数的图象；
（3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP；
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
∴﹣3k+4＝0，
∴k=43；
（2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4），
（3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值，
∵A（2，0），B（0，4），C（3，0），
∴BC＝5，AC＝5，
∵12CA•OB=12AB⋅AP，
∴5×4＝5AP，
∴AP＝4．
∴AP的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键．
【变式8-4】（2022秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据勾股定理求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（6，0），
点B的坐标为（0，3）；
（2）如图：
（3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
在Rt△ABC中，AB=OA2+OB2=32+62=35．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．
（1）求点A、E的坐标及m的值；
（2）求证：OA⊥AE．
【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值；
（2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D，
∵等边△OAB边长为4，
∴OB＝4，
∴OD＝BD＝2，
∴AD=42−22=23，
∴点A（2，23），
∵点A在直线y=−33x+m上，
∴23=−33×2+m，
解得，m=833，
∴y=−33x+833，
当y＝0时，x＝8，
∴点E（8，0），
即点A（2，23），点E（8，0），m=833；
（2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0），
∴OD＝2，OE＝8，
∴DE＝OE﹣OD＝6，
∵AD＝23，
∴AE=AD2+DE2=(23)2+62=43，
∵OA＝4，OE＝8，
∴OA2+AE2=42+(43)2=64，OE2＝82＝64，
∴OA2+AE2＝OE2，
∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式8-6】（2022秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标；
（2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，
∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）；
（2）∵A（5，0），B（0，5），
∴OA＝5，OB＝5，
∴AB=52+52=25，
∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，
∴C（0，0），
②当AB＝AC时，
∵AC＝25，
∴C（25−5，0）或（25+5，0），
③当AB＝BC时，
∵OC＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），
综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25−5，0）或（25+5，0）或（0，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.3 一次函数的图象与性质
题型一 一次函数的概念
【例题1】（2022秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）
【变式1-1】（2021春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x−1 B．y＝x2+3
C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x
【变式1-2】（2022秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y=1x+2 B．y＝﹣2x
C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
【变式1-3】（2021秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4
【变式1-4】（2022春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-5】（2022秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-6】（2022春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 利用一次函数的定义求字母的值
【例题2】（2022春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
【变式2-1】（2022秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 ．
【变式2-2】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值
是（ ）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 ．
【变式2-4】（2022秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝ ．
【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【变式2-6】（2022春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
题型三 画一次函数的图象
【例题3】（2021春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．
（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．
【变式3-4】（2022春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．
（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【变式3-5】（2021春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系
【例题4】（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【变式4-1】（2022秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【变式4-2】（2022秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2
【变式4-3】（2022秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【变式4-4】（2022秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-5】（2021秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-6】（2022秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-7】（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-8】（2022秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 一次函数与正比例函数之间的关系
【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【变式5-1】（2022秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到
C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到
【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 ．
【变式5-3】（2022秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 ．
【变式5-4】（2021春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【变式5-5】（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【变式5-6】（2022秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．
（1）求平移后的函数表达式；
（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
题型六 利用一次函数的性质解决问题
【例题6】（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
【变式6-1】（2022秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经
过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【变式6-2】（2022秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【变式6-3】（2022秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a 2．（填＞，＜，＝）
【变式6-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式6-5】（2022秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项
是（ ）
A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）
【变式6-7】（2021秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．
（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），
（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；
（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
题型七 一次函数的平移
【例题7】（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）
A．将直线l1向上平移6个单位
B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位
D．将直线l1向上平移4个单位
【变式7-1】（2022秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式
是（ ）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9
【变式7-2】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【变式7-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【变式7-4】（2022秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【变式7-5】（2022秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将1向右平移4个单位长度
B．将1向左平移4个单位长度
C．将1向上平移4个单位长度
D．将1向下平移4个单位长度
【变式7-6】（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【变式7-7】（2022•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 ．
【变式7-8】（2022秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
题型八 一次函数的图象上点的坐标特征
【例题8】（2022秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（ ）
A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003
【变式8-1】（2022秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（ ）
A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）
【变式8-2】（2022春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；
（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．
【变式8-3】（2022秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
（1）求k的值；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 ．
【变式8-4】（2022秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．
（1）求点A、E的坐标及m的值；
（2）求证：OA⊥AE．
【变式8-6】（2022秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.3 一次函数的图象与性质答案
题型一 一次函数的概念
【例题1】（2022秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣1）
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意；
B、x在分母中，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x是一次函数，故此选项符合题意；
D、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-1】（2021春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x−1 B．y＝x2+3
C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；
C．当k＝0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；
D．是一次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数．
【变式1-2】（2022秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y=1x+2 B．y＝﹣2x
C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．
【解答】解：A．y=1x+2右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；
B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；
C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；
D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-3】（2021秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y=7x B．y=25x C．y=12−3x D．y＝﹣x+4
【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．
【解答】解：y＝﹣x+4，y=25x，y=12−3x都是一次函数，而y=7x为反比例函数．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．
【变式1-4】（2022春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1x，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：①y＝x是一次函数；
②y＝11﹣2x是一次函数；
③y＝x2+2是二次函数；
④y=1x是反比例函数．
一次函数有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式1-5】（2022秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=−8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为y＝kx+b，其中k，b为常数，k≠0）即可得．
【解答】解：由一次函数的定义可知，函数y＝8x和s＝8t+1是一次函数，函数y=−8x和y＝8x2都不是一次函数，
即一次函数有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键．
【变式1-6】（2022春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；⑤y=x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y=18x，共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
题型二 利用一次函数的定义求字母的值
【例题2】（2022春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，
∴k−2≠0k2−3=1，
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 ．
【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1，
则m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，是解题关键．
【变式2-2】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值
是（ ）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2−8+4是关于x的一次函数，
∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是 ．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．
【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，
由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
则m＝﹣2．
故答案为：m＝﹣2．
【点评】此题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题关键，难度不大，注意基础概念的掌握．
【变式2-4】（2022秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a＝ ．
【分析】根据一次函数的定义和性质列式计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（a−32）x|2﹣a|+a2+6的图象过一、二、三象限，
∴|2−a|=1a−32＞0a2+6＞0，
解得：a＝1或a＝3，
∵1−32=−12＜0，
∴a＝1不符合题意舍去，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．
【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得
3−|m|=1m−2≠0，
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；
（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x=12，
故当x=12时，y的值为3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式2-6】（2022春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠2；
（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
题型三 画一次函数的图象
【例题3】（2021春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．
（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．
【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝2，
因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）；
（2）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝﹣2，
因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）；
如图所示：
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法．
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：一次函数y＝x﹣1中，
∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限是解题的关键．
【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．
【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．
【解答】解：函数y＝﹣2x+1经过点（0，1），（12，0）．
图象如图所示：
【点评】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．
【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3；
先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1．
【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x．
当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．
将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3；
作直线y＝2x．
当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．
将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1．
方法二：作直线y＝﹣2x+3．
当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．
作直线y＝2x﹣1．
当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．
【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在．
【变式3-4】（2022春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．
（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；
（2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；
（3）根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得
m−2≠0|m−1|=1，
解得m＝0，
函数解析式为y＝﹣2x+4，
（2）∵y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0，
过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，
〇
（3）∵k＝﹣2，
∴y的值随x的值的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式3-5】（2021春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标．
（2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积．
【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示：
（1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2；
故A（2，0）、B（0，﹣2），
（2）由图象可知：
△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×2×2=2．
【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键．
题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系
【例题4】（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：如图所示，一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而减小，所以k＜0，
直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【变式4-2】（2022秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2
【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出﹣m＞0、n﹣2＞0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象经过第一、二、三象限，
∴−m＞0n−2＞0，
∴m＜0，n＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
【变式4-3】（2022秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】由图象得y随x的增大而减小，那么自变量系数应小于0；图象与y轴的交点在y轴的负半轴可以确定b的符号．
【解答】解：∵由图象得y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象性质：y随x的增大而减小，比例系数小于0，难度不大．
【变式4-4】（2022秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式4-5】（2021秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k＜0），b＝3，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式4-6】（2022秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、四象限，
C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意；
由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确；
B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误；
C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误；
D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【变式4-8】（2022秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
题型五 一次函数与正比例函数之间的关系
【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【分析】根据函数图象平移的法则得出平移后的解析式，求出k，b的值即可．
【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k，
∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，
∴k＝2，b＝﹣3k，
∴b＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位长度而得到
B．向左平移1个单位长度而得到
C．向右平移1个单位长度而得到
D．向下平移1个单位长度而得到
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 ．
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3，
∵平移后的直线与x轴交于（m，0），
∴0＝3m+3，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式5-3】（2022秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 ．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”即可确定平移后的函数表达式．
【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝﹣2x﹣3，
故答案为：y＝﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【变式5-4】（2021春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：上，1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式5-5】（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．
【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6，
令y＝0，即2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
令x＝0，得y＝6，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6），
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：12×3×6=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．
【变式5-6】（2022秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．
（1）求平移后的函数表达式；
（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b，
则由题意，得4＝3×1+b，
解得：b＝1．
∴函数解析式为：y＝3x+1．
（2）令x＝0，则y＝1；
令y＝0，则3x+1＝0，
解得x=−13，
∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（−13，0），（0，1）；
∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=12×13×1=16．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
题型六 利用一次函数的性质解决问题
【例题6】（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
【变式6-1】（2022秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经
过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴此函数图象必过二、四象限；
∵b＝﹣3＜0，
∴此函数图象与y轴相交于负半轴，
∴此函数图象经过二、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，此函数图象经过二、四象限；当b＜0时，此函数图象交y轴于负半轴．
【变式6-2】（2022秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【分析】由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜5，即可得出y2＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，﹣2＜5，
∴y2＜y1．
故答案为：y2＜y1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a 2．（填＞，＜，＝）
【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出a﹣2＜0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-5】（2022秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜1−2＜1，即可得出c＞a＞b．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y＝kx+m的图象过点A（1−2，a），B（1，b），C（﹣1，c），且﹣1＜1−2＜1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项
是（ ）
A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：直线y＝﹣x﹣3中，k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，
A、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B、∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、∵当y＝0时，x＝﹣3，∴与x轴交于（﹣3，0），原说法错误，故本选项符合题意；
D、∵当x＝0时，y＝﹣3，∴与y轴交于（0，﹣3），正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
【变式6-7】（2021秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．
（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【分析】（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，可得m﹣3＜0且2m+1≠0，依此即可求解；
（2）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限，要分情况讨论．
【解答】解：（1）由已知得，m﹣3＜0且2m+1≠0，
解得m＜3且m≠−12．
m的取值范围是m＜3且m≠−12；
（2）若图象经过第一、三象限，得2m+1＞0且m﹣3＝0，解得m＝3；
若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0m−3＞0，解得m＞3．
故m的取值范围是m≥3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），
（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；
（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．
【解答】解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴m﹣3＜0，
解得，m＜3；
（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，
∴2﹣m＜0，
解得，m＞2．
又m﹣3≠0即m≠3．
综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；
（3）∵函数图象经过二、三、四象限，
∴m−3＜02−m＜0，
解得，2＜m＜3；
（4）当m＝4时，该函数解析式为y＝x﹣2．
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2，
则该直线与两坐标轴所围成的面积是：12×|﹣2|×2＝2．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
题型七 一次函数的平移
【例题7】（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）
A．将直线l1向上平移6个单位
B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位
D．将直线l1向上平移4个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：设直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后的解析式为y＝﹣2x﹣2+k，
∵将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，
∴﹣2x﹣2+k＝﹣2x+4，
解得：k＝6，
故将l1向是平移6个单位长度．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
【变式7-1】（2022秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式
是（ ）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上+下﹣”即可确定．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后，
可得y＝﹣2x+7+2＝﹣2x+9，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【变式7-2】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，
即y＝2x﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式7-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：
y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，
即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式7-4】（2022秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2），
由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上，
∴2＝2×2+b，
∴b＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式7-5】（2022秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将1向右平移4个单位长度
B．将1向左平移4个单位长度
C．将1向上平移4个单位长度
D．将1向下平移4个单位长度
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．
【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），
∴6（x+a）﹣2＝6x+2，
解得：a=23，
故将直线y＝6x﹣2向左平移23个单位后得到直线y＝6x+2，
同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．
【变式7-6】（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝2x+b+3，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后得到y＝2x+b+3，
∵经过原点，
∴b+3＝0，
解得b＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
【变式7-7】（2022•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 ．
【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8，
∴k＝2，b＝8，
∴k+b＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
【变式7-8】（2022秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据平移的性质可设一次函数的表达式为y＝x+m，再把点A（1，2）代入求出m的值即可；
（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象由函数y＝x向左平移m个单位长度得到，
∴设一次函数的表达式为y＝x+m．
∵一次函数的图象经过点A（1，2），
∴2＝1+m，
解得m＝1；
（2）由（1）得一次函数的表达式为y＝x+1，
∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点B，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∴SAOB=12×1×2=1，
∴△AOB的面积为1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
题型八 一次函数的图象上点的坐标特征
【例题8】（2022秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（ ）
A．(32)2022 B．(32)2003 C．(43)2022 D．(42)2003
【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【解答】解：如图，
∵A1（1，1）在直线y=15x+b上，
∴b=45，
∴y=15x+45，
设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022），
则有y2=15x2+45，
y3=15x3+45，
…
y2021=15x2021+45，
又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，
∴x2＝2y1+y2，
x3＝2y1+2y2+y3，
…
x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
y2=12y1+1，
y3=12y1+12y2+1=32y2，
y4=32y3，
…
y2022=32y2021，
又∵y1＝1，
∴y2=32，
y3＝（32）2，
y4＝（32）3，
…
y2023＝（32）2022，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（ ）
A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D．（56，23）
【分析】根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据S△ABC＝△ABD+△ACD，可得点D到x轴的距离，代入直线y＝﹣4x+4，可得答案．
【解答】解：∵直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，0=43x+4，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB=32+42=5，
∵直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴当y＝0时，0＝﹣4x+4，解得x＝1，
∴C（1，0），
∴AC＝4，
过点D作DH⊥x轴于H，
∵S△ABC＝△ABD+△ACD，点D到直线AB的距离DE长为3，
∴12×4×4=12×5×3+12×4DH，
∴DH=14，
∴点D的纵坐标为14，
∵点D在线段BC：y＝﹣4x+4上，
∴14=−4x+4，解得x=1516，
∴点D的坐标为（1516，14）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式8-2】（2022春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；
（3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围；
（2）利用两点法画出函数图象即可；
（3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）．
∴OA＝3，
∵x+y＝4，
∴y＝4﹣x，
∴S=12×3×y=32（4﹣x），
即S=−32x+6 （0＜x＜4）；
（2）画出函数S的图象如图：
（3）∵△OPA面积是5，
−32x+6＝5，
解得x=23，
∴y＝4−23=103，
∴点P的坐标为(23，103)．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【变式8-3】（2022秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
（1）求k的值；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 ．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）利用两点画出函数的图象；
（3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP；
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
∴﹣3k+4＝0，
∴k=43；
（2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4），
（3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值，
∵A（2，0），B（0，4），C（3，0），
∴BC＝5，AC＝5，
∵12CA•OB=12AB⋅AP，
∴5×4＝5AP，
∴AP＝4．
∴AP的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键．
【变式8-4】（2022秋•茂南区期末）已知，一次函数y=−12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）根据勾股定理求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（6，0），
点B的坐标为（0，3）；
（2）如图：
（3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
在Rt△ABC中，AB=OA2+OB2=32+62=35．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
【变式8-5】如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线y=−33x+m与x轴交于点E．
（1）求点A、E的坐标及m的值；
（2）求证：OA⊥AE．
【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值；
（2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D，
∵等边△OAB边长为4，
∴OB＝4，
∴OD＝BD＝2，
∴AD=42−22=23，
∴点A（2，23），
∵点A在直线y=−33x+m上，
∴23=−33×2+m，
解得，m=833，
∴y=−33x+833，
当y＝0时，x＝8，
∴点E（8，0），
即点A（2，23），点E（8，0），m=833；
（2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0），
∴OD＝2，OE＝8，
∴DE＝OE﹣OD＝6，
∵AD＝23，
∴AE=AD2+DE2=(23)2+62=43，
∵OA＝4，OE＝8，
∴OA2+AE2=42+(43)2=64，OE2＝82＝64，
∴OA2+AE2＝OE2，
∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式8-6】（2022秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标；
（2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，
∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）；
（2）∵A（5，0），B（0，5），
∴OA＝5，OB＝5，
∴AB=52+52=25，
∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，
∴C（0，0），
②当AB＝AC时，
∵AC＝25，
∴C（25−5，0）或（25+5，0），
③当AB＝BC时，
∵OC＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），
综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25−5，0）或（25+5，0）或（0，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
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