第14讲 圆周角和圆心角的关系-九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

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第14讲 圆周角和圆心角的关系
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课程标准
1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能进行简单的推理和计算。
2.知道圆内接四边形的相关概念和性质。
3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力。
知识精讲

知识点01 圆周角的定义
顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
注意：
（1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。
（2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（3）一条弧所对的圆周角有无数个。
知识点02 圆周角定理
1. 圆周角定理：
　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2.圆周角定理的推论：
　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外
部．（如下图）

知识点03 圆内接四边形
1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.





注意：
当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
能力拓展

考法01 圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接

∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【即学即练】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（     ）

A．116 B．120 C．122 D．128
【答案】D
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，

与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【典例2】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【详解】解：如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=100°，
∴∠ACD=10°，
∵∠AOD与∠ACD都对着，
∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．
故选∶B．
【即学即练】如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（    ）

A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，
，
（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
故选：B．
考法02 圆周角定理及应用
【典例3】如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【即学即练】如图，为的直径，弦交于点E，，，，则（　　）

A． B． C．2 D．1
【答案】D
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故选：D．
【典例4】如图，是的弦，，C是上的一个动点，且．若M，N分别是，的中点，则长的最大值是（　　）

A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，

点M，N分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
长的最大值是．
故选C．
【即学即练】如图，为的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则长的最大值是（    ）

A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，

∵点M，N分别是的中点，
∴
∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
考法03 圆内接四边形及应用
【典例5】如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（　　）

A．124° B．114° C．94° D．66°
【答案】B
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．
，
故选：B．
【即学即练】如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，

则：，
∴；
故选C．
【典例6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【详解】解：连接OD，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【即学即练】如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED，

∵为四边形的外接圆，，
∴，
∵，
∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形），
∴的角平分线经过圆心，
∴，
∵AE是直径，
∴（直径所对圆周角是），是直角三角形；
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．
故选：C．
2．下列关于圆的命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③矩形的四个顶点共圆；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴；⑤平分弦的直径一定垂直于这条弦；⑥圆是中心对称图形，对称中心是圆心；⑦相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题的个数是（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：直径是弦，故①是真命题；
长度相等的弧不一定是等弧，故②是假命题；
矩形的四个顶点共圆，故③是真命题；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故④是假命题；
平分弦不是直径的直径一定垂直于这条弦，故⑤是假命题；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心；故⑥是真命题；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故⑦是假命题；
真命题有①③⑥，共个，
故选：B．
3．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】D
【详解】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
4．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】根据圆周角定理进行求解即可得．
解：∵，
．
故选：C．
5．如图，是半圆的直径，D是弧的中点，，则的度数是（    ）．

A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】A
【详解】解：连接，如图，

∵点D是的中点，即，
∴，而，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴．
故选：A．
6．已知在圆的内接四边形中，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由可设，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故选A．
7．如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则__________．

【答案】##度
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．如图，AB是的直径，C、D在上，若，则______．

【答案】##20度
【详解】解：∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：．
9．如图，是直径，是的弦，，求的度数．

【答案】
【详解】解：如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵，
∴．
∴．
10．已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．

(1)求证：；
(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)圆弧所对的圆心角的度数为．
【详解】（1）证明：连接，

∵是半的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，

∵是半的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圆弧所对的圆心角的度数为．
题组B 能力提升练
1．如图，内接于，，，垂足为点，与相交于点，连接，则的大小为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，

四边形是圆内接四边形，，
，
，
，
是边的中点，
，
，
故选：C．
2．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
3．如图，是⊙O的直径，弦，，若动点M以的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为，当是直角三角形时，t的值为（    ）

A． B．5s C． D．或
【答案】D
【详解】解：如图，是直径，
．
又，，
根据勾股定理得到．
则，．
当点到达点时，点也随之停止运动，
．
①如图1，

当时，，则
．
故，即，解得．
②如图2，

当时，，
则，即，
解得．
综上所述，当或时，为直角三角形．
故选D．
4．如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，作于H．

∵，
∴，
∴，
∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解）
在中，∵，
∴，，
在中，，
∴CQ的最大值为，
故选：D．
5．在中，直径，是弦，，点是弦上的动点，则的最小值是(    )
(为此，我校数学兴趣小组的部分同学做了如下探究，如图，过点作，过点作，得，从而，…顺着同学们的思路请你做出正确的选择)

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，

∵，
∴，
当三点共线时即为的长，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∴的最小值即为的长，
∵直径，是弦，，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：A．
6．下列有关圆的一些结论：
①任意三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接四边形对角互补；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
正确的个数是（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；
圆内接四边形对角互补，故表述正确；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确．
故选：B．
7．如图，在中，是的直径，，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10，其中正确的序号是_______．

【答案】①④##④①
【详解】解：①∵，
∴；
又∵点E是点D关于的对称点，
∴；故①正确；
②∵，故②错误；
③∵，
∴，
∴；故③正确；
④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，故④正确．

故答案为：①④．
8．如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为___________．

【答案】##120度
【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接,
∴,
∵
∴，解得：
∵四边形
∴
∴．
故答案为：．

9．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．

(1)若，求的度数．
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）解：连接，则：，

平分，
，
，
，
，
．
10．如图1，在中，，过点A作直线，使，过点B作于点N，过点C作于点M．

(1)猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)如图2，连接交于点G，若，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：，理由如下；
∵，即，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点C作于D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

（3）解： 如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴,，
∴，
∴．

题组C 培优拔尖练
1．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为．
故选：A．
2．如图，是直径，，点，是圆上点，，，点是劣弧上的一点（不与，重合），则的长可能为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】解：连接、，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的长可能为，
故选：C．
3．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，

点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
故选：C．
4．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ）

A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴不一定成立，故②错误；
当最长时，为的直径，
∴，

∵是等边的外接圆，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，延长至点E，使，连接，

∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∴正确的为①③④．
故选：D．
5．如图，是的高，若，，则长的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，

∵
∴点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵，
∴，
当经过圆心时最长
∵是的高，
∴
此时，
故选：A．
6．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示

若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（    ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，

∵，，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：B．
7．如图，四边形是的内接四边形，对角线、交于点，，的半径为1，当时，则的取值范围______．

【答案】##
【详解】解：连接，，过O作交于F，交于E，

∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，，，
∴，
在、、中根据股定理可得，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为______．

【答案】

【详解】连接，
∵，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，

当点D在上时，的值最小，
∵C为半圆O的三等分点（靠近点A），
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
9．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点．

(1)填空：______度，______度；
(2)若的半径为4，求等边三角形的面积；
(3)求证：．
【答案】(1)60；60
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，；
故答案为：60；60．
（2）解：连接，并延长交于点D，连接，如图所示：

∵是等边三角形的外接圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：在上截取，连接，如图所示：

∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．如图，四边形内接于为对角线，，直径交于点F，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点G作于H，过点A作交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：在中，∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴
∴；

（2）∵四边形是内接四边形
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，

（3）连接连接交于，延长交于，
∵，
∴，
∵，
又，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴
在中，
∴
即
∴，
即
∴
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．