初中4 圆周角和圆心角的关系学案

圆周角和圆心角的关系—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（    ）

    A、2个            B、3个        C、4个       D、5个

2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正确的有(    )个

A. 5              B. 4             C. 3              D. 2

第1题图                    第2题图                   第3题图

3．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是(    )

    A．平行四边形      B．矩形       C．菱形      D．正方形

4．（2020•威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（　　）

　 A．68° B． 88° C． 90° D．112°

5．如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于(    )．

A．80° B．100° C．130° D．140°

           第4题图              第5题图                第6题图 

6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为(    )．

A．cm          B．3cm         C．cm       D．9cm

二、填空题

7．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．
　　　          

              （第7题）                          （第9题）

8．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=　　．

9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED=           °.                         

10．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.

11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．

       （第10题图）              （第11题图）

12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是       .

13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，

则∠BAC的度数为_______．

三、解答题

14.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.

15.（2020•宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．

16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，

求证：AF＝CF．

17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

求四边形ADBC的面积．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】D．

  【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，

同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.

2．【答案】C．

【解析】①②④正确.

3.【答案】C．

  【解析】由弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，得∠AOC=60°，△AOC为等边三角形，

         所以AO=AC，进而得到OA=OB=BC=AC，故则四边形OACB是菱形.

4．【答案】B． 

【解析】如图，∵AB=AC=AD，

∴点B、C、D在以点A为圆心，

以AB的长为半径的圆上；

∵∠CBD=2∠BDC，

∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，

故选B．

5．【答案】C． 

6．【答案】B．

  【解析】∵  ∠CDB＝30°，  ∴  ∠COB＝2∠CDB＝60°，

又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，

∴  ∠OCD＝30°，，

在Rt△OEC中，∵  cm，∴  cm．

(cm)．

∴  cm，∴  CD＝3cm．
二、填空题

7．【答案】40°；

  【解析】∵  ∠AOC＝130°，

∴  ∠ADC＝∠ABC＝65°，

又AB⊥CD，

∴  ∠PCD＝90°－65°＝25°，

∴  ∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．

8．【答案】40°；

  【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，

∴∠EBF=∠A+∠E=85°，

∵∠A+∠BCD=180°，

∴∠BCD=180°﹣55°=125°，

∵∠BCD=∠F+∠CBF，

∴∠F=125°﹣85°=40°．

9．【答案】30°； 

10．【答案】3；

11．【答案】；

【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧的中点，所以

         OB⊥AC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得

         22-x2=32-（3-x）2,解得，.

或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，，，．

12．【答案】；

【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）

此时PA+PB最小，且等于AC的长．

连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，

则弧BN的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN的度数是30°，

则∠AOC=90°，又OA=OC=1，

则AC= ．

13.【答案】15°或75°.

【解析】方程x2-（2+2）x+4=0的解为x1=2，x2=2，

不妨设：AB=2，AC=2．

    （1）如图，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．

    ∵AB=2，AC=2，

    ∴AM=，

    ∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2，

    ∴AN=，

    在Rt△NAO中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；

（2）如图，∠BAC=75°．

三、解答题

14.【答案与解析】

解：在△ABE中，∠E=40°，

∴∠A+∠ABE=180°-∠E=180°-40°=140°.

在△ADF中，∠F=60°，

∴∠A+∠ADF=180°-∠F=180°-60°=120°.

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADF+∠ABE=180°，

∴2∠A=260°-180°=80°，

∴∠A=40°.

15.【答案与解析】

证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD，

∴CF=CD，

∵CE⊥AD于E，

∴EF=DE，

∴AE=AF+EF=BD+DE．

16.【答案与解析】

证法一：连接BC，如图所示．

∵  AB是直径，∴  ∠ACB＝90°，

即∠ACF+∠BCD＝90°．

又∵  CD⊥AB，

∴  ∠B+∠BCD＝90°，

∴  ∠ACF＝∠B．

∵  点C是的中点， ∴ ，

∴  ∠B＝∠CAE，

∴  ∠ACF＝∠CAE，∴  AF＝CF．

证法二：如图所示，连接BC，并延长CD交⊙O于点H．

∵  AB是直径，CD⊥AB，

∴  ．  ∴  点C是的中点，

∴  ，  ∴  ．

∵  ∠ACF＝∠CAF，  ∴  AF＝CF．

17.【答案与解析】

∵  AB是直径，∴  ∠ACB＝∠ADB＝∠90°．

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，

∴  ．

∵  ∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴  ∠DCA＝∠BCD．

∴  ，∴  AD＝BD．   

∴  在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴  AD＝BD＝．

∴ 

    ．