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初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系精品精练
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这是一份初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系精品精练，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•福清市期中）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．70°B．72°C．80°D．84°
2．（2022秋•南岗区校级期中）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
3．（2022秋•姑苏区期中）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．162°C．164°D．170°
4．（2021秋•黔西南州期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
5．（2021秋•梧州期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E是⊙O上的点，连接BD、AE交于点F，且∠C＝37°，则∠DFE＝（ ）
A．111°B．124°C．127°D．153°
6．（2022秋•沙依巴克区校级期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
7．（2022•玉州区二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
8．（2022•仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝∠A，∠A＝45°，若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为（ ）
A．±2B．2C．D．
9．（2022秋•温州期中）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
10．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
二、填空题。
11．（2022秋•滑县期中）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝ ．
12．（2022秋•永吉县期中）如图，在⊙O上顺次取点A，P，B，C，连接OA，OB，OC，PB，PC．若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为 ．
13．（2022秋•松原期中）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则∠BOC+∠DOE＝ °．
14．（2021秋•大城县期末）如图，已知点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°．
（1）∠BOA的度数为 ；
（2）弦BC的长为 ．
15．（2022秋•东湖区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD＝ED，CD∥AE，∠ABC＝140°，则∠D＝ ．
17．（2022秋•张湾区期中）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ ．
18．（2022秋•盐都区校级月考）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如图（1），在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如图（2），点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD＝90，若AB＝8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 ．
三、解答题。
19．（2022秋•下城区期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
20．（2022秋•高新区期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．
21．（2021秋•太康县期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
22．（2022秋•汉阳区期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点．
（1）如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF＝BE；
（2）如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
23．（2022•沈河区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED．
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为 ．
24．（2022秋•衢州期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
25．（2021秋•安徽期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝2，AC＝4，求⊙O的半径及CE的长．
26．（2022秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，
①求⊙O的半径；
②求∠BDE的大小．
专题3.4 圆周角与圆心角的关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•福清市期中）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．70°B．72°C．80°D．84°
【答案】C。
【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是，
∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°．
故选：C．
2．（2022秋•南岗区校级期中）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】D。
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝×（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
3．（2022秋•姑苏区期中）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．162°C．164°D．170°
【答案】C。
【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝82°，
∴∠A＝82°，
∴∠BOD＝164°．
故选：C．
4．（2021秋•黔西南州期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
【答案】A。
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
故选：A．
5．（2021秋•梧州期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E是⊙O上的点，连接BD、AE交于点F，且∠C＝37°，则∠DFE＝（ ）
A．111°B．124°C．127°D．153°
【答案】C。
【解答】解：连接EB，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝37°，∠C＝∠DBE，
∴∠DBE＝37°，
∴∠DFE＝∠DBF+∠AEB＝37°+90°＝127°，
故选：C．
6．（2022秋•沙依巴克区校级期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C。
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确；
能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误；
直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误．
故选：C．
7．（2022•玉州区二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝30°，
故选：C．
8．（2022•仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝∠A，∠A＝45°，若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为（ ）
A．±2B．2C．D．
【答案】B。
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵∠CAB＝45°，∠ABC＝∠BAC，
∴∠BOC＝90°，∠ABC＝22.5°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝45°，
∴∠OCB＝∠AOC，
∴OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝2，
∴，
∴OB＝2（负值舍去），
故选：B．
9．（2022秋•温州期中）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
【答案】D。
【解答】解：如图，连接AE，AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵DF＝CD，AF＝AD，
∴AD＝DF＝AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°，
∵AD＝AE＝AF，
∴∠ADE＝∠AED，∠AEF＝∠AFE，
∴∠AED+∠AEF＝（360°﹣60°）＝150°，
∴∠DEF＝150°，
故选：D．
10．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】A。
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠COD＝40°．
故选：A．
二、填空题。
11．（2022秋•滑县期中）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝ 20° ．
【答案】20°。
【解答】解：∵点D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
12．（2022秋•永吉县期中）如图，在⊙O上顺次取点A，P，B，C，连接OA，OB，OC，PB，PC．若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为 35° ．
【答案】35°。
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝70°，
∵∠P＝∠BOC，
∴∠P＝35°，
故答案为：35°．
13．（2022秋•松原期中）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则∠BOC+∠DOE＝ 60 °．
【答案】60。
【解答】解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°．
故答案为：60．
14．（2021秋•大城县期末）如图，已知点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°．
（1）∠BOA的度数为 60° ；
（2）弦BC的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：连接OC，OA交BC于E，如图：
∵OA⊥BC，
∴＝，CE＝BE，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
（2）在Rt△OBE中，
∵∠CDA＝30°，
∴OE＝OB＝1，
∴BE＝OE＝，
∴BC＝2BE＝2，
故答案为：2．
15．（2022秋•东湖区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
【答案】。
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，
∴圆O的半径为．
故答案为：．
16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD＝ED，CD∥AE，∠ABC＝140°，则∠D＝ 100° ．
【答案】100°。
【解答】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
又∵∠ABC＝140°，
∴∠AEC＝180°﹣140°＝40°，
∵CD∥AE，
∴∠AEC＝∠DCE＝40°，
∵CD＝ED，
∴∠CDE＝∠CED＝40°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣40°
＝100°，
故答案为：100°．
17．（2022秋•张湾区期中）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15° ．
【答案】15°。
【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
18．（2022秋•盐都区校级月考）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如图（1），在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如图（2），点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD＝90，若AB＝8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：连接OC、OD、OE，取OP的中点H，连接EH，
∵∠CPD＝90°，E为CD的中点，
∴PE＝DE＝CE＝，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，
∵P是OB的中点，
∴OP＝BP＝＝2，
∴OH＝1，
在△OPE中，由三角形中线长公式，
得2（EH2+OH2）＝OE2+PE2，
即2（EH2+1）＝OE2+PE2
在△OCD中，由三角形中线长公式，
得2（OE2+CE2）＝OC2+OD2，
即2（OE2+PE2）＝42+42＝32，
也即OE2+PE2＝16，
∴2（EH2+1）＝16，
∴EH＝，
∴点E在以H为圆心，为半径的⊙H上运动，
当EH为△EPB的高时，△EPB的面积最大，
此时EH⊥AB，
∴OE＝，
∵点E是CD的中点，
∴OE⊥CD，CD＝2DE，
∴CD＝2DE＝2，
故答案为：4．
三、解答题。
19．（2022秋•下城区期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD．
20．（2022秋•高新区期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD．
21．（2021秋•太康县期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACD；
（2）∵AE＝4，BE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OCE中，CE＝＝8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝16，
答：弦CD的长为16cm．
22．（2022秋•汉阳区期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点．
（1）如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF＝BE；
（2）如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴CF∥DE，∠CFO＝∠DEO＝90°，
∴∠CFO＝∠DEO，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（SAS），
∴OF＝OE，
而OA＝OB，
∴AF＝BE；
（2）AF＝BE．
如图2，过O作MN∥AB交CF于M，交DE延长线于N，过作OH⊥AB于H，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，AH＝HB，
∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴四边形OMFH，ONEH都是矩形，
∴OM＝FH，ON＝HE，
在△△CMO和△DNO中，
，
∴△CMO≌△DNO（SAS），
∴OM＝ON，
∴FH＝EH，
而AH＝HB，
∴AF＝BE．
23．（2022•沈河区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED．
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为 10 ．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴AD＝DC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠ECD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，
则∠FCD＝90°，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠F＝∠DBC＝30°，
∴DF＝2CD＝10，
∴⊙O的直径长为10，
故答案为：10．
24．（2022秋•衢州期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝104°，
∴＝52°，
∴∠BAD＝×52°＝26°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC．
25．（2021秋•安徽期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝2，AC＝4，求⊙O的半径及CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴CE＝＝＝．
26．（2022秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，
①求⊙O的半径；
②求∠BDE的大小．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠PBC+∠ABF＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠ABF，
∴∠PBC＝∠DAE，
∵∠PCB＝∠DAE，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴△PCB是等腰三角形；
（2）连接OD，OB；AC和DE交于点M，
①∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB
∴DE∥BC，
同理：BH∥DC，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝1，
∵∠ACB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝1，
∴⊙O的半径长是1；
②∵OD＝DH＝1，
∴∠DOH＝∠DHO＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠OMH＝∠ACB＝60°，
∴∠MOH＝40°，
∴∠DOM＝∠DOH﹣∠MOH＝40°，
∴∠DBC＝∠DOC＝20°，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°．
1．（2023秋•福清市期中）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．70°B．72°C．80°D．84°
2．（2022秋•南岗区校级期中）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
3．（2022秋•姑苏区期中）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．162°C．164°D．170°
4．（2021秋•黔西南州期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
5．（2021秋•梧州期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E是⊙O上的点，连接BD、AE交于点F，且∠C＝37°，则∠DFE＝（ ）
A．111°B．124°C．127°D．153°
6．（2022秋•沙依巴克区校级期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
7．（2022•玉州区二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
8．（2022•仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝∠A，∠A＝45°，若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为（ ）
A．±2B．2C．D．
9．（2022秋•温州期中）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
10．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
二、填空题。
11．（2022秋•滑县期中）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝ ．
12．（2022秋•永吉县期中）如图，在⊙O上顺次取点A，P，B，C，连接OA，OB，OC，PB，PC．若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为 ．
13．（2022秋•松原期中）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则∠BOC+∠DOE＝ °．
14．（2021秋•大城县期末）如图，已知点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°．
（1）∠BOA的度数为 ；
（2）弦BC的长为 ．
15．（2022秋•东湖区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD＝ED，CD∥AE，∠ABC＝140°，则∠D＝ ．
17．（2022秋•张湾区期中）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ ．
18．（2022秋•盐都区校级月考）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如图（1），在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如图（2），点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD＝90，若AB＝8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 ．
三、解答题。
19．（2022秋•下城区期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
20．（2022秋•高新区期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．
21．（2021秋•太康县期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
22．（2022秋•汉阳区期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点．
（1）如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF＝BE；
（2）如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
23．（2022•沈河区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED．
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为 ．
24．（2022秋•衢州期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
25．（2021秋•安徽期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝2，AC＝4，求⊙O的半径及CE的长．
26．（2022秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，
①求⊙O的半径；
②求∠BDE的大小．
专题3.4 圆周角与圆心角的关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•福清市期中）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．70°B．72°C．80°D．84°
【答案】C。
【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是，
∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°．
故选：C．
2．（2022秋•南岗区校级期中）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】D。
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝×（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
3．（2022秋•姑苏区期中）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．162°C．164°D．170°
【答案】C。
【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝82°，
∴∠A＝82°，
∴∠BOD＝164°．
故选：C．
4．（2021秋•黔西南州期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
【答案】A。
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
故选：A．
5．（2021秋•梧州期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E是⊙O上的点，连接BD、AE交于点F，且∠C＝37°，则∠DFE＝（ ）
A．111°B．124°C．127°D．153°
【答案】C。
【解答】解：连接EB，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝37°，∠C＝∠DBE，
∴∠DBE＝37°，
∴∠DFE＝∠DBF+∠AEB＝37°+90°＝127°，
故选：C．
6．（2022秋•沙依巴克区校级期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C。
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确；
能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误；
直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误．
故选：C．
7．（2022•玉州区二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝30°，
故选：C．
8．（2022•仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝∠A，∠A＝45°，若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为（ ）
A．±2B．2C．D．
【答案】B。
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵∠CAB＝45°，∠ABC＝∠BAC，
∴∠BOC＝90°，∠ABC＝22.5°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝45°，
∴∠OCB＝∠AOC，
∴OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝2，
∴，
∴OB＝2（负值舍去），
故选：B．
9．（2022秋•温州期中）如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF＝DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
【答案】D。
【解答】解：如图，连接AE，AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵DF＝CD，AF＝AD，
∴AD＝DF＝AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°，
∵AD＝AE＝AF，
∴∠ADE＝∠AED，∠AEF＝∠AFE，
∴∠AED+∠AEF＝（360°﹣60°）＝150°，
∴∠DEF＝150°，
故选：D．
10．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】A。
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠COD＝40°．
故选：A．
二、填空题。
11．（2022秋•滑县期中）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝ 20° ．
【答案】20°。
【解答】解：∵点D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
12．（2022秋•永吉县期中）如图，在⊙O上顺次取点A，P，B，C，连接OA，OB，OC，PB，PC．若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为 35° ．
【答案】35°。
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝70°，
∵∠P＝∠BOC，
∴∠P＝35°，
故答案为：35°．
13．（2022秋•松原期中）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则∠BOC+∠DOE＝ 60 °．
【答案】60。
【解答】解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°．
故答案为：60．
14．（2021秋•大城县期末）如图，已知点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°．
（1）∠BOA的度数为 60° ；
（2）弦BC的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：连接OC，OA交BC于E，如图：
∵OA⊥BC，
∴＝，CE＝BE，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
（2）在Rt△OBE中，
∵∠CDA＝30°，
∴OE＝OB＝1，
∴BE＝OE＝，
∴BC＝2BE＝2，
故答案为：2．
15．（2022秋•东湖区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
【答案】。
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，
∴圆O的半径为．
故答案为：．
16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD＝ED，CD∥AE，∠ABC＝140°，则∠D＝ 100° ．
【答案】100°。
【解答】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
又∵∠ABC＝140°，
∴∠AEC＝180°﹣140°＝40°，
∵CD∥AE，
∴∠AEC＝∠DCE＝40°，
∵CD＝ED，
∴∠CDE＝∠CED＝40°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣40°
＝100°，
故答案为：100°．
17．（2022秋•张湾区期中）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15° ．
【答案】15°。
【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
18．（2022秋•盐都区校级月考）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如图（1），在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如图（2），点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD＝90，若AB＝8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：连接OC、OD、OE，取OP的中点H，连接EH，
∵∠CPD＝90°，E为CD的中点，
∴PE＝DE＝CE＝，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，
∵P是OB的中点，
∴OP＝BP＝＝2，
∴OH＝1，
在△OPE中，由三角形中线长公式，
得2（EH2+OH2）＝OE2+PE2，
即2（EH2+1）＝OE2+PE2
在△OCD中，由三角形中线长公式，
得2（OE2+CE2）＝OC2+OD2，
即2（OE2+PE2）＝42+42＝32，
也即OE2+PE2＝16，
∴2（EH2+1）＝16，
∴EH＝，
∴点E在以H为圆心，为半径的⊙H上运动，
当EH为△EPB的高时，△EPB的面积最大，
此时EH⊥AB，
∴OE＝，
∵点E是CD的中点，
∴OE⊥CD，CD＝2DE，
∴CD＝2DE＝2，
故答案为：4．
三、解答题。
19．（2022秋•下城区期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD．
20．（2022秋•高新区期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD．
21．（2021秋•太康县期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACD；
（2）∵AE＝4，BE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OCE中，CE＝＝8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝16，
答：弦CD的长为16cm．
22．（2022秋•汉阳区期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点．
（1）如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF＝BE；
（2）如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴CF∥DE，∠CFO＝∠DEO＝90°，
∴∠CFO＝∠DEO，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（SAS），
∴OF＝OE，
而OA＝OB，
∴AF＝BE；
（2）AF＝BE．
如图2，过O作MN∥AB交CF于M，交DE延长线于N，过作OH⊥AB于H，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，AH＝HB，
∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴四边形OMFH，ONEH都是矩形，
∴OM＝FH，ON＝HE，
在△△CMO和△DNO中，
，
∴△CMO≌△DNO（SAS），
∴OM＝ON，
∴FH＝EH，
而AH＝HB，
∴AF＝BE．
23．（2022•沈河区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED．
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为 10 ．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴AD＝DC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠ECD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，
则∠FCD＝90°，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠F＝∠DBC＝30°，
∴DF＝2CD＝10，
∴⊙O的直径长为10，
故答案为：10．
24．（2022秋•衢州期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝104°，
∴＝52°，
∴∠BAD＝×52°＝26°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC．
25．（2021秋•安徽期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝2，AC＝4，求⊙O的半径及CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴CE＝＝＝．
26．（2022秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，
①求⊙O的半径；
②求∠BDE的大小．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠PBC+∠ABF＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠ABF，
∴∠PBC＝∠DAE，
∵∠PCB＝∠DAE，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴△PCB是等腰三角形；
（2）连接OD，OB；AC和DE交于点M，
①∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB
∴DE∥BC，
同理：BH∥DC，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝1，
∵∠ACB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝1，
∴⊙O的半径长是1；
②∵OD＝DH＝1，
∴∠DOH＝∠DHO＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠OMH＝∠ACB＝60°，
∴∠MOH＝40°，
∴∠DOM＝∠DOH﹣∠MOH＝40°，
∴∠DBC＝∠DOC＝20°，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°．
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