北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系优秀测试题

3.4 圆周角和圆心角的关系

1．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）

A．25° B．50° C．60° D．30°

2．（2022·四川广元·九年级期末）如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2等于(　　)

A．30° B．45° C．60° D．70°

3．（2022·四川广元·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°

4．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·四川南充·九年级期末）如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

6．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．若∠ABC=70°，则∠OCA的度数为（  　）

A．20° B．25° C．30° D．40°

7．（2022·四川自贡·九年级期末）如图，的半径为，AB与CD为的两条平行弦，，，则弦BE的长为（    ）

A．3 B．3.5 C． D．

8．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图，AB为的直径，弦CD平分，若，则（    ）

A． B． C．2 D．3

9．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，已知H是以AB为直径的半圆上的一点，C，E分别是，的中点，分别以BH，AH为直径向外作半圆弧，，D为的中点，延长DH交于点F，连结EC，若HD：FH=1：2，则EC：FD的值为（  　）

A． B． C． D．

10．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交于点D，的内切圆半径是（    ）

A． B． C． D．

11．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm，则两种设计的中心格面积S1与S2差为______cm2．

12．（2022·四川泸州·九年级期末）如图，在直角△ABC中，，，，点D是AC边上一动点，连接BD，作于点E，则线段CE长度的最小值为______．

13．（2022·四川广元·九年级期末）如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长．

14．（2022·四川南充·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

15．（2022·四川成都·九年级期末）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．

(1)如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；

①求∠FAD的度数；

②求证：BG⊥DG；

(2)如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．

16．（2022·四川自贡·九年级期末）如图，AB为的直径，，于D，交BE于F，连接CB．求证：．

17．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，AB，DF是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，过点D作DE⊥AB于点E．

(1)证明：F是的中点；

(2)若，求FC的长．

参考答案：

1．A

【解析】如图，∵∠BOC=50°，

∴∠BAC=25°，

∵AC∥OB，

∴∠OBA=∠BAC=25°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=25°.

故选A.

2．C

【解析】试题分析：如图，连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；

在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°， ∴∠DAB=60°； 又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），

∴∠2=60°

考点：圆周角定理

3．B

【解析】通过圆周角定理计算即可；

解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，

∴∠OAB＝∠OBA＝50°，

∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，

∴∠C＝∠AOB＝40°．

故选：B．

本题主要考查了圆周角定理的应用，准确计算是解题的关键．

4．D

【解析】连接BD，由圆周角定理得出∠BDC=60°，进而证明△OBD是等边三角形，由CD⊥AB及勾股定理，可求出BF的长度，再由垂径定理即可得出AB的长度．

解：连接BD，

∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，

∴AB=2BF，，

∵∠AEC=60°，

∴∠ODB=∠AEC=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴OB=OD=4，

∴OF=OD=2，

∴BF=，

∴AB=2BF=，

故选：D．

本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂径定理，理解垂径定理是解题的关键．

5．B

【解析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

6．A

【解析】先根据等腰三角形性质得∠OCA=∠OAC，GMF 由圆周角定理求得∠AOC=140°，然后利用三角形内角和求解即可．

解：∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°，

∴∠OCA==20°，

故选：A．

本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

7．D

【解析】连接OC，OE，BC、CE，过点C作CHBE交BE于点H，由AB//CD可得BC的长，由CDE=30°，可得相关圆周角和圆心角的度数，出现等边三角形，从而得到CE的长，两次勾股定理即可得BE长度．

解：连接OC，OE，BC、CE，过点C作CH⊥BE交BE于点H，

∵AB//CD，

∴BC = AD =2，

∵∠CDE = 30°，

∴∠COE= 60°，

∴∠CBE = ∠CDE = 30°，

∴△OCE是等边三角形，

∴CE=

在中,

∴BH=

在Rt△CEH中

HE=

∴BE=2+．

故选：D．

本题考查了圆周角定理、等边三角形、30度角的直角三角形，勾股定理，其中作辅助线是解题的关键．

8．C

【解析】由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，结合角平分线的定义可求得△ABD为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵弦CD平分∠ACB，

∴∠ABD=∠ACD=45°，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∵AB=，

∴AD=，

故选：C．

本题主要考查圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，证明△ABD是等腰直角三角形是解题的关键．

9．A

【解析】连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，设HD=x，FH=2x，证得O、C、D三点共线，O、E、F三点共线，根据∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，求出GH=FH=x，MH=HD=x，得到AH，BH，求出AB得到OE，进而求出CE，即可得到答案．

解：如图，连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，

设HD=x，FH=2x，

∵C是的中点，D为的中点，

∴CD⊥BH，

∵C是的中点，

∴OC⊥BH，

∴O、C、D三点共线，

同理：O、E、F三点共线，

∵∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，

∴GH=FH=x，MH=HD=x，

∴AH=2GH=2x，BH=2MH=x，

∴AB=x，

∴OE=OC=x，

∴CE=OE=x，

∴，

故选：A．

此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确理解垂径定理是解题的关键．

10．B

【解析】首先根据圆周角定理可得，，角平分线得，再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得等腰直角三角形，设内切圆的半径为r cm，根据切线长定理列出方程求解．

解：∵AB是直径，

∴，．

∵cm，cm，

∴（cm）．

∵的平分线交于D，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴cm，

∴cm；

∴等腰直角三角形，

设内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为r cm，

得正方形DGIE，

∴，

∴，

解得cm，

∴的内切圆半径是cm．

故选：B．

本题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．

11．##

【解析】如图，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，然后可得，则有，进而可得，根据圆周角定理可知，则有，最后根据勾股定理可求解．

解：如图，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，

由题意得：，

由中心格是正方形可得：，

设，则有AB=3xcm，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示，

∴圆锅边缘每段弧的度数为45°，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：，即，

∴，

∴，

∴；

故答案为．

本题主要考查垂径定理、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆周角定理及勾股定理是解题的关键．

12．

【解析】根据于点，可知，，在以为直径的圆周上，取的中点连接交于点，此时的值最小

解：于点

，，在以为直径的圆周上

如图：取的中点，连接，，

在中

当三点共线时取等号，此时最小

，

在中

在中

故答案为：．

本题考查了勾股定理解直角三角形，圆的性质：直径所对的圆周角是及其逆定理；解题的关键是要知道点的运动轨迹，再转化为圆外一定点到圆上距离的最小值．

13．BC=16cm，AD=BD=10cm．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC= =16（cm）；

∵CD是∠ACB的平分线，

∴，

∴AD=BD，

∴AD=BD= ×AB=10（cm）．

14．（1）见详解；（2）

【解析】（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．

15．(1)①22.5°；②见解析

(2)

【解析】（1）①可求得∠ACD=∠DAC=45°，进而求得结果；②连接GE，根据中位线定理证得EG=CF，进而得出EG=BD，进一步命题得证；

（2）连接EG，可证得EG=DE=BE=AE，所以点A、G、D、B、C共圆，从而得出∠FGD=∠ACD，进而证得△FDG∽△FAC，进一步求得结果．

（1）

①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠ACF=45°，∠ADF=∠ADC=90°，

∵CF=CA，

∴，

∴∠FAD=∠FAC-∠DAC=67.5°-45°=22.5°；

②证明：连接GE，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AE=CE，BE=DE=BD，

∵AC=CF，

∴CF=BD，

∵AG=FG，AE=CE，

∴EG=CF，

∴EG=BD，

∴GE=BE=DE，

∴∠EGD=∠EDG，∠EGB=∠EBG，

∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG=180°，

∴∠EGD+∠EGB=90°，

∴∠BGD=90°，

∴BG⊥DG；

（2）

如图2，连接EG，

∵BG⊥DG，BE=DE，

∴GE=BE=DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AE=CE=AC，BE=DE=BD，AC=BD，

∴AE=CE=BE=DE，

∴点A、G、D、C、B在以E为圆心，AE为半径的圆上，

∴∠DGF=∠ACD，

∵∠F=∠F，

∴△FDG∽△FAC，

∴，

∴FD•FC=FG•FA，

设FD=x，则，

∵FG=2AG，

∴，

∴，

∴x1=，x2=-（舍去），

∴FD=．

本题考查了正方形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，三角形中位线定理，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，找出相似三角形的条件．

16．见解析

【解析】连接AE，根据同圆等弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据垂直的定义得到，从而可以推出得到．

证明：连接AE，

∵，

∴，

∵AB为直径，

∴，

∴，

∵于D，

∴，

∴，

∴，

∴

∴．

本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)FC=

【解析】（1）连接BF，OC，根据，可得∠CBF=∠OFB，再由圆周角定理可得∠COF=∠BOD，从而可得，进而得到，即可求证；

（2）作OH⊥BC于点H，连结BD，先证得△OHB≌△DEO，可得OH=DE=2，从而得到，继而得到BE= 1，再由勾股定理可得BD的长，即可求解．

（1）

证明：如图，连接BF，OC，

∵，

∴∠CBF=∠OFB，

∵∠COF=2∠CBF，∠BOD=2∠OFB，

∴∠COF=∠BOD，

∴，

∵∠AOF=∠BOD，

∴，

∴F是的中点 ；

（2）

解：作OH⊥BC于点H，连结BD，

∵，

∴∠CBO=∠BOD，

∵OD=OB，∠OED=∠OHB=90°，

∴△OHB≌△DEO，

∴OH=DE=2，BH=OE，

∵OH⊥BC，BC=3，

∴BH=OE=1.5，

∴，即BE=OB-OE=OB-BH=1，

∴，

∵，

∴FC=BD=．

本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，根据，得到是解题的关键．