数学人教版19.2.2 一次函数课后测评

一次函数的图象与性质（基础）

【学习目标】

1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；

2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．

3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.

要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.

要点二、一次函数的图象与性质

1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；

当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；

当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.

2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：

决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．

4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：

（1）与相交；   （2），且与平行；

要点三、待定系数法求一次函数解析式

　  一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.

要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

要点四、分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.

要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

【典型例题】

类型一、待定系数法求函数的解析式 

1、根据函数的图象，求函数的解析式．

【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.

【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.

解：设函数的解析式为.

它的图象过点（1.5，0），（0，2）

∴该函数的解析式为.

【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

举一反三：

【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．

【答案】  ；

提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得．

∴  一次函数解析式为．

【变式2】（2015春•广安校级月考）已知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．

（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．

（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．

【答案】解：（1）函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，﹣3），y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：

（2）设y1=2x﹣3，y2=﹣x+3的交点为点A，可得：，

可得：，

S△ABC=BC•1=×（3﹣1.5）×1=．

类型二、一次函数图象的应用

2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．

【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．

【答案与解析】

解：根据图象，当0≤≤50时，可设解析式为，

将(50，25)代入解析式，所以，所以；

    当＞50时可设解析式为，

将(50，25)，(100，70)代入解析式得，

解得，所以．

所以当0≤≤50时函数解析式为；当时函数解析式为．

∴  所求的一次函数解析式为：．

【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.

举一反三：

【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是(    )

A.14分钟  B.17分钟  C.18分钟  D.20分钟

【答案】D；

提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.

类型三、一次函数的性质

3、已知一次函数．

（1）当、是什么数时，随的增大而增大；

（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；

（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.

【答案与解析】

解：（1），即＞－2，为任何实数时，随的增大而增大；

   （2）当、是满足即时，函数图象经过原点；

   （3）若图象经过一、二、三象限，则，即．

【总结升华】一次函数的图象有四种情况：

①当＞0，＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；

②当＞0，＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；

③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；

④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．

4、（2020春•咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）求x的取值范围；

（3）当S=4时，求P点的坐标．

【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5﹣x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P（x，y）在第一象限，且x+y=5得出x的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x的值，进而可得出y的值．

【答案与解析】解：（1）如图所示，

∵x+y=5，

∴y=5﹣x，

∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；

（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，

∴0＜x＜5；

（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，

∴10﹣2x=4，解得x=3，

∴y=2，

∴P（3，2）．

【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（    ）．

【答案】B；

提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方,故选B.