初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教案及反思

二次函数与一元二次方程、不等式

课首沟通

上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。

知识导图

课首小测

1. （2016年广州市第七中学期中考） 若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：

则当x＝0时，y的值为（ ）

A．5 B．－3 C．－13 D．－27

2. 请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点（1,3）的抛物线的解析式             .（答案不唯一）

3.   （2016年广州市海珠区期中考）  抛物线 的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得的函数解析式为 ，则b＝               ，c＝               .

4.   （2016年广州市海珠区期中考） 二次函数图像经过点（0，0）与（－1，－1），且与x轴上取得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

5.   （2016年 广州市黄冈中学期中考） 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（－1，0）。

（1）  求抛物线的解析式；

（2） 

求出B、C两点的坐标。

导学一 ： 二次函数与一元二次方程

知识点讲解 1：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系

（1）  从数的角度看：

一元二次方程 的根 二次函数 函数值 =0时自变量 的值。

（2）  从形的角度看：

一元二次方程 的根 抛物线 与 轴交点的横坐标。

（3）  总结求抛物线 与 轴和 轴的交点坐标的方法：

与 轴交点，令 =0，即求一元二次方程的根；与 轴交点，；令 =0，即过点（0，c）

例 1. 利用二次函数的图像求 的实数根。

（1） 
先作出函数             的图像；（填表、描点、连线）

（2）  写出交点坐标：它与  轴的公共点的横坐标大约是：           ，

算一算：用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是            。

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1.  
   [单选题] 根据下列表格中二次函数 自变量 与函数 的对应值，判断方程一个解 的取值范围（ ）

A.6< <6.17 B.6.17< <6.18 C.6.18< <6.19 D.6.19< <6.20

2. 填空

（1）  若二次函数 与  轴交点为（2，0）和（-3，0），则方程的根为                                 。

（2）  抛物线 与x轴的一个交点的坐标（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是                       。

（3）  已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图像如图所示，由图像可知关于x的方程

的两个根分别是 和         。

3. 如下图是二次函数 的图像，则方程 的根为          。

知识点讲解 2：一元二次方程根的个数与二次函数与x轴交点的个数关系

例 1. 填 表

例 2. 归纳：二次函数与一元二次方程的关系如下：

例 3. （2016年 广州市黄冈中学期中考） 已知点A 、B 在二次函数 的图像上，当 ＝1，

＝3时， ＝ ，

（1）  求m的值；

（2）  若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；

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1. 填空。

（1）  抛物线 与 轴交点的个数为                个；

（2）  已知抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是                       ；

（3）  已知抛物线 的顶点在 轴上，则 =                  。

2.      二次函数 对于 的任何值都恒为负值的条件是（ ）          A． ，            B． ，              C． ，               D. ，

3. 若方程 的两个根是-3和1，那么二次函数 的图像的对称轴是直线（ ）

A．                  B．                 C．                  D.

导学二 ： 二次函数与不等式的关系

例 1. 二次函数 的图像如下图所示。根据图像回答：

（1）当 =      时，  =0？

（2）  请你根据图像，写出方程 的根                       ；

（3）  请你描出抛物线上  >0的部分，并观察此时自变量  的取值范围是            ；

（4）  写出不等式 的解集                      ；

（5）  请你描出抛物线上 >-3的部分，并观察此时自变量 的取值范围是              ；

（6）  请你描出抛物线上 <-3的部分，并观察此时自变量 的取值范围是              。

【学有所获】  时，指 轴的     方，即观察       象限的图像； 时，指观察直线 的      的图像；

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1. 如下图是二次函数 的部分吧图像，由图像可知：不等式 的解集是

             ；不等式 的解集是                        。

导学三 ： 两函数之间的不等关系

例 1. 如下图是二次函数 和一次函数 的图像，根据图像回答：

（1）  写出 时，自变量 的值               ；

（2）  写出 时，自变量 的取值范围              ；

（3）  写出不等式 的解集，为                           。

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1. 完成下列填空：

（1）  直线 与抛物线 的交点坐标为                          

（2）  已知二次函数 和一次函数 的图像交于点A（-2,4），B（8,2），如下图所示，则能使 成立的 的取值范围是      。

导学四 ： abc的大小对二次函数图像的影响

例 1. 完成下列填空：

（1）      的符号由_____________决定：

①开口方向________

②开口方向________

_________；

_________。

（2）     的符号由___________________决定：

①________在 轴的左侧 、

②________在 轴的右侧 、

_________；

_________；

③________是 轴______________0。

（3）    的符号由___________________决定：

①点（0，c）在 轴的正半轴

②点（0，c）在  轴的负半轴

_________0；

_________0；

③点（0，c）在原点_____________0。

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1. [单选题] 二次函数 的图像经过点（0，-2），与  轴交点的横坐标分别为，且

， ，下列结论正确的是（ ）

A． B．               C． D.

2.   [单选题] （2016年广州市广外外校期中考） 已知二次函数 的图像如图所示，下列结论正确的是（              ）

A．   B．

C．3是方程 的一个根 D.当x<1时，y随x的增大而减小

限时考场模拟 ： __20_____分钟完成

1. （2016年广州市白云广雅期中考） 若关于x的函数 图像与x轴有唯一公共点，则a=                   。.

2. （2016年广州市广大附中月考） 若二次函数 的对称轴是x＝3，则关于x的方程 的解为

      。

3. （2016年 广州市番禺区期中考） 如图，已知二次函数的图像如图所示，下列四个结论：①a>0；②b

＜0；③b＜a+c；

④4a＋2b＋c>0；其中正确的结论有：        。

4.   （2016年广州市第二中学期中考） 如图，二次函数的图像与x轴相交于（－2，0）和（4，0）两点， 当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是               。

5. [单选题] （2016年广州市黄冈中学期中考） 关于抛物线图像上 ，下列说法错误的是（ ）

A．开口向上 B．与x轴有一个交点

C．对称轴是直线x＝1 D. 当x>1时，y随x的增大而减小

6. [单选题] （2016年广州市黄冈中学期中考） 如图为二次函数 的图像，则下列说法：①a>0；

②a＋b+c>0；③2a+b=0；④4a－2b+c>0；其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7.   [单选题] 已知函数，当 = 时，  <0，则  的值可能是（ ） A．-4 B．0 C．2 D. 3

8. 
   [单选题] 二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是（ ）

A．                 B．                  C．                 D. 或

9. [单选题] 已知抛物线 如图所示，则关于方程 的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根 D.没有实数根

10. [单选题] 二次函数 的图像如图所示，则m的值是（ ）

A．-8 B．8 C．   D. 6

11. 已知抛物线 与x轴没有交点。

（1）  求C的取值范围；

（2）  试确定直线 经过的象限，并说明理由。

12. （2016年广州市番禺区期中考） 如图，A（－1，0）、B（2，－3）两点在一次函数 与二次函数

的图像上。

（1）  求m的值和二次函数的解析式；

（2）  当x取什么值时， 随x的增大而减小？

（3） 
请直接写出使 > 时自变量x的取值范围。

13. 如图，二次函数 图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数的对称轴对称的点。已知一次函数

的图像经过该二次函数图像上点（1,0），及点B。

（1）  求二次函数与一次函数的表达式；

（2） 
根据图像，写出满足 的x的取值范围。

课后作业

1. （2015年广州市六中珠江单元测验） 抛物线的对称轴为直线x=                    ，满足y＞0的x的取值范围是

2. （2015年广州市六中珠江单元测验） 若抛物线 与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为         .

3. （2015年广州市六中珠江单元测验） 若二次函数 的图像经过点（-2,10），且一元二次方程

 的根为－0.5和2，则

该二次函数的解析式为              。

4. 若函数y＝mx2＋2x＋1图像与x轴只有一个公共点，则常数m  的值是             。

5. [单选题] （2015年广州市六中珠江单元测验） 二次函数y＝ax2＋bx＋c图像如图所示，则点（b，c/a ）在第

（ ）象限

A.一 B.二 C.三 D.四

6.   [单选题] 二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝kx＋n图像交于点A（-1，5），B（9，2）两点，则关于x的不等式kx＋n≥ ax2＋bx＋c解集为（              ）

A．-1≤x≤9 B． －1≤x<9 C．－1<x ≤9 D.x≥9 或x≤－1

7.   [单选题] （2016年广州市海珠区期中考） 二次函数y＝kx2－6x＋3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k<3              B．k<3且k 0              C． k≤3              D．k≤3且k 0

8.   [单选题] （2016年广州市广大附中月考） 如图，已知二次函数y＝x2+bx+c与正比例函数y＝x的图像如图所示，下列四个结论：①c－b＋1=0；② b2﹣4c＜0；③3b+c＋6=0；④当1＜x＜3时， x2＋（b－1）x＋c＜0；其中正确的结论个数为

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9.   [单选题] （2016年广州市海珠区期中考） 抛物线 的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点A， 在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图像如图，则下列说法：①2a－b=0；② 4ac﹣b2＜0；③a＋b+c＜0；④若点M

、N 在抛物线上，若  ＜ x2时， ；其中正确的结论个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10. （2016年广州市海珠区期中考） 已知二次函数y=x2－6x＋9,

（1）  请写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）  若点A 、B （x1 ＜x2 ＜3）都在该抛物线上，试比较y1，y2 的大小。

（3）x取何值时，x2－6x＋9>0.

11. 已知二次函数y=－x2＋bx＋c图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。

（1）  求出b,c的值，并写出这个函数的解析式；

（2） 
根据图像，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。

12. 二次函数 的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（1）  写出方程 的两个根；

（2）  写出不等式 的解集；

（3）  写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

（4） 

若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

1、布置课后作业，强调解答题的基本步骤。

2、指导学生预习下节课的内容。

3、提醒学生下次课一定记得带上作业。

课首小测

1.C

解析: 由表可知，抛物线的对称轴为x＝－3，顶点为（－3，5），再用待定系数法设顶点式求得二次函数的解析式，再把x＝0代入即可求得y的值。

2.

解析: 设抛物线的解析式为，由此函数图像与y轴交点纵坐标为－1，得出c＝－1；把（1，3）代入 ，得出a＋b＋c＝3；开口向上，得a>0，据此答题，答案不唯一。

3.2，0

解析: 利用反向平移：先把y=x2﹣2x﹣3配成顶点得到y=（x﹣1）2﹣4，得到抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣

4），通过点（1，﹣4）先向左平移2个单位再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，﹣1），然后利用顶点式写出平移 后的抛物线解析式，再把解析式化为一般式即可得到b和c的值．

4.y=x2＋2x或

解析:由抛物线与x轴上取得的线段长为2，及经过点（0，0），可得抛物线经过（2，0）或（－2，0），设一般式求得二 次函数的解析式。

5.（1）y=x2﹣4x－5；（2）B（5，0），C（0，－5）

导学一

知识点讲解 1：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系例题

1.（1） ；（2）－1，2；图像略；（3）  ＝－1， ＝2

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1.C

2.（1） ＝－3， ＝2；（2）（3，0）；（3）-3.3

3. ＝－3， ＝1

知识点讲解 2：一元二次方程根的个数与二次函数与x轴交点的个数关系例题

1.（从左到右，从上到下）>，两个不相等，两个；＝，两个相等，一个，顶点；<，没有，0

2.（从左到右，从上到下）>，两个不相等，两个；＝，两个相等，一个，顶点；<，没有，0

3.（1）m＝－4；（2）n＝4

解析:（1） 当＝1， ＝3时， ＝ , 抛物线的对称轴为x＝2，可得m＝－4；（2）令判别式＝0，可得n的值。

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1.（1）两；（2）k>－1且k 0；（3）3或－3

解析: （1）判别式>0；（2）与 轴有两个交点即判别式>0，且要留意二次项系数不为0这个条件；（3）顶点在x轴上， 即判别式＝0

2.D

解析: 函数值恒为负值，抛物线开口向下，且与x轴没有交点3.C

导学二例题

1.（1）－3或1；（2）  ＝－3， ＝1；（3）x<-3或x>1；（4）-3<x<1；（5）x<-2或x>0；（6）-2<x<0

解析:方程的根即当抛物线与x轴交点横坐标的值；不等式 或>0的解集，即看抛物线在x轴下发或上方的图像。等于0是分界线，先找到等于0时对应的x的值，那么<0或>0的取值范围就在x的左右两边或中间；以此类推， >-3或<-3，要先找到y＝3时对应的x的值，再观察图像写解集。

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1.x<-1或x>5；-1<x<5

导学三例题

1.（1）  ＝－2， ＝1；（2）x -2或x 1；（3）-2 x 1

解析:先找出两个函数的交点（方法：联立两个函数解方程组）；交点之处，就刚好是两个函数大小互换之处，所以找出 此时的横坐标；观察坐标，写出x的取值范围，即解集。

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1.（1）（－2，0），（1，0）；（2）x<-2或x>8

导学四例题

1.（1）抛物线开口方向，向下，<，向上，>；

（2）  对称轴和a，对称轴，同号，对称轴，异号，对称轴，＝；

（3）  抛物线与y轴交点位置，>，<，＝

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1.D

2.C

限时考场模拟

1.0，9或1

解析: 题目只是说函数，所以可以是一次函数，a＝0时，与x轴有一个交点；当函数为二次函数时，与x轴有一个公共点，即判别式为0，解得a＝9或1

2.7或－1

3.①②③

解析:抛物线开口向上，a>0；对称轴在y轴右侧，b与a异号；当x＝－1时，y＝a－b＋c>0，即b＜a+c；当x＝2时，y＝4a

＋2b＋c<0 4.－2<x<4

5.D

解析:因为二次函数的对称轴是x＝1，图像开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大6.B

7.B

8.A

9.C

解析:二次函数与直线y＝8有一个交点， 有两个相等的实数根。10.B

解析:二次函数与x轴有一个交点，判别式为0，解得m＝8或－8，因为对称轴在y轴左侧，所以ab同号，答案取8. 11.（1）c>0.5 ；（2）一、二、三象限，因为c>0

12.（1）m＝－1， ；（2）x<1；（3）-1<x<2

13.（1） ，y＝x－1；（2）1 x 4

解析:解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，1+m=0，m=﹣1；二次函数解析式为y=（x﹣2）2

﹣1，当x=0时，y=4﹣1=3，故C点坐标为（0，3），由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），令y=3，有（x

﹣2）2﹣1=3，解得x=4或x=0，则B点坐标为（4，3），

将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得， ，解得 ，所以，一次函数解析式为y=x﹣1；

（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），∴当y2≥y1时，1≤x≤4．

课后作业

1.3，x<1或x>5

2.4

3.

4.0或1

5.D

6.A

7.D

8.C

9.C

解析:解：函数的对称轴是x=﹣1，即﹣ =﹣1，则b=2a，2a﹣b=0，故①正确； 函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确；

当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；则y1和y2的大小无法判断，则④错误．

10.（1）开口方向向上，对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，0）；（2）y1>y2 ；（3）x 3

11.（1）b＝2，c＝3， ；（2）－1<x<3

12.（1）1，3；（2）1<x<3；（3）x>2；（4）k<2