初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀同步测试题

专题21.1-21.2 一元二次方程及其解法

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·河北联邦国际学校初二期中）方程：①，②，③，④中，一元二次方程是（    ）．

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③

【答案】C

【解析】

解：①不是一元二次方程；

②不是一元二次方程；

③是一元二次方程；

④是一元二次方程．

综上：一元二次方程是③和④

故选C．

2．（2020·北京市文汇中学初二期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．

故选A．

3．（2019·北大附中深圳南山分校初二期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　　

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．

故选A．

4．（2020·安徽省合肥市五十中学新校初二月考）方程x2﹣x＝0的解为（　　）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1

【答案】C

【解析】

解：∵x2﹣x＝0，

∴x（x﹣1）＝0，

∴x＝0或x﹣1＝0，

∴x1＝0，x2＝1，

故选：C．

5．（2020·江苏省初三月考）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    )

A．m＜ B．m＞ C．m＜且m≠0 D．m＞且m≠0

【答案】A

【解析】

解：整理得

∵有两个不相等的实数根

∴==4-12m＞0

解得m＜．

故选A．

6．（2018·内蒙古自治区初三期中）用配方法解方程配方正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：，

，

∴，

．

故选：．

7．（2020·合肥育英学校初二期中）若方程中，a、b、c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（   ）

A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定

【答案】C

【解析】

在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中

当x=1时，a+b+c=0

当x=-1时，a-b+c=0

故选C.

8．（2020·广东省初三学业考试）关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：∵一元二次方程无实数根，

∴，

解得：；

故选：D.

9．（2020·北京市文汇中学初二期中）如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（    ）

A．k＞l B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣1

【答案】C

【解析】

由题意知△＝(-2)²﹣4×1×(-k)≥0，

解得：k≥-1，

故选：C．

10．（2020·常州市第二十四中学初三月考）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，可以取的是（ ）

A．3 B．5 C．6 D．8

【答案】A

【解析】

根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．

故选A．

11．（2020·安徽省桐城市黄岗初中初二期中）已知关于的一元二次方程有一个根是，那么的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意知，x=-2是关于x的一元二次方程x2+3x+a=0的根，
∴（-2）2+3×（-2）+a=0，即-2+a=0，
解得，a=2．
故选：C．

12．（2020·浙江省初二期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（　　）

A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011

【答案】B

【解析】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．

故选：B,

13．（2020·广东省蛇口育才二中初三一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，若k为非正整数，则k等于（　　）

A． B．0 C．0或﹣1 D．﹣1

【答案】D

【解析】

根据题意得k≠0且△＝(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)≥0，

解得k≥﹣1且k≠0，

∵k为非正整数，

∴k＝﹣1，

故选D．

14．（2020·福建省初三一模）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，

∴（a-m）（a-n）+1=0，

∴（a-m）（a-n）=-1＜0，

∵m＜n，

∴m＜a＜n，

同理：m＜b＜n，

∵a＜b，

∴m＜a＜b＜n．

故选：D．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2020·江苏省初三其他）一元二次方程的解是_    _．

【答案】x1＝3，x2＝﹣3．

【解析】

∵

∴=9，

∴x=±3，

即x1＝3，x2＝﹣3，

故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．

16．（2019·山东省初三期末）已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0的一个根为0，则m的值是_________．

【答案】0

【解析】

把x=0代入方程（m+1）x2+4x+m2+m=0得m2+m=0，解得m1=0，m2=-1，

而m+1≠0，

所以m=0．

故答案为0．

17．（2020·安徽省初三一模）关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝_____，c＝_____．

【答案】1    1．   

【解析】

∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△＝22﹣4ac＝0，

∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．

故答案为：1,1

18．（2020·山东省初三月考）关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.

【答案】x=-4,x=-1

【解析】

解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．

故答案为：x1=-4，x2=-1．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2019·全国初三）如果方程是关于的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．

【答案】，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为11.

【解析】

根据一元二次方程的定义可得且，则，将m代入可得，则二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为11.

20．（2019·高唐县赵寨子中学初三月考）已知方程是关于的一元二次方程．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．

【答案】（1）；（2），

【解析】解：化简，得

．

方程是关于的一元二次方程，得

，解得，

当时，方程是关于的一元二次方程；

由一次项系数为零，得．

则原方程是，即．

因式分解得，

解得，．

21．（2019·江苏省初三月考）用公式法解方程：．

【答案】

【解析】

，

，

．

22．（2020·沭阳县马厂实验学校初二期中）先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．

【答案】，

【解析】

解：原式=．

∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6．

∴原式=．

23．（2019·全国初二课时练习）已知方程与方程有一个公共解是3，求、的值.

【答案】，

【解析】

∵方程ax2+bx−6=0与ax2+2bx−15=0有一个公共根是3，

∴ax2+2bx−15=ax2+bx−6+bx−9=bx−9=0，

∴3b−9=0，得b=3，

将x=3代入ax2+bx−6=0，得

a×32+3×3−6=0，

解得,a=−

即a的值是−，b的值是3.

24．（2020·北京市十一学校初三月考）已知关于x的一元二次方程

（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．

【答案】（1）详见解析；（2）m 的值为 1 或﹣5．

【解析】

（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，

∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；

（2）解：∵方程有一个根的平方等于 9，

∴x＝±3，

当 x＝3 时，m＝1；当 x＝﹣3时， m＝﹣5．

综上所述，m 的值为 1 或﹣5．

25．（2018·成都双流中学实验学校初三期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：

已知，求x+y的值．

解：设t＝x+y，则原方程变形为，即t2+t﹣2＝0

∴得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1

已知，求x2+y2的值．

【答案】x2+y2＝5

【解析】

设t＝x2+y2＞0

∴（t﹣4）（t+2）＝7

t2﹣2t﹣15＝0，

解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）

∴x2+y2＝5．

26．（2019·江苏省初三期中）在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

【答案】△ABC的周长是12．

【解析】∵关于x的方程有两个相等的实数根，

∴△=，即；

解得，（舍去）；

①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；

②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；

此时△ABC的周长为：5+5+2=12；

故△ABC的周长是12．