初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课后测评

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专题21.1-21.2 一元二次方程及其解法
典例体系

一、知识点
一元二次方程及其解法
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
(3)公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
3.根的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．

二、考点点拨与训练
考点1：与一元二次方程定义有关的问题
典例：（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【答案】D
【解析】因为方程是一元二次方程,
所以,,
解得且
所以,
故选D.
方法或规律点拨
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
巩固练习
1．（2019·张家港市梁丰初级中学初二期中）下列方程是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A. 的分母含有未知数，故不是一元二次方程；
B. 含有2个未知数，故不是一元二次方程；
C. 中未知数的次数是1次，故不是一元二次方程；
D. 整理得9x2-4=0，是一元二次方程；
故选D．
2．（2018·内蒙古自治区初三期中）下列各式是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选A．
3．（2018·内蒙古自治区初三期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，-1 B．5，4 C．5，-4 D．5x2，-4x
【答案】C
【解析】
解：一元二次方程5x2-4x-1=0的二次项系数和一次项系数分别为5，-4，
故选：C．
4．（2019·山东省初三期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
①2x2-x=15，②x2+2xy-3=0，③，④3x2=0，⑤
A．①② B．①②④⑤ C．①④⑤ D．①③④
【答案】C
【解析】
解：①2x2-x=15，是一元二次方程；
②x2+2xy-3=0，含有两个未知数，故不符合题意；
③，分母中含有未知数，故不符合题意；
④3x2=0，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程
故选：C．
5．（2020·合肥育英学校初二期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．x2+3x = x2-2 C．ax2+bx+c = 0 D．2( x+1)2 = x+1
【答案】D
【解析】解：A、为分式方程，故错误；
B、化简后不含二次项，故错误；
C、当a＝0时不是一元二次方程，故错误；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确；
故选：D．
6．（2020·哈尔滨德强学校初二月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A．是一元一次方程，故错误；
B．不是整式方程，故错误；
C．正确；
D．，当a≠0时，才是一元二次方程，故错误．
故选：C．
7．（2020·浙江省初二期中）把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是(　　)
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
【答案】D
【解析】一元二次方程的一般形式为
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选：D．
8．（2019·江苏省初三期中）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠0
【答案】D
【解析】
因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2−3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0.
故选D.
9．（2020·珠海市斗门区实验中学初三期中）一元二次方程2x2﹣3x-1=0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是（ ）
A．a=2，b=3，c=-1 B．a=2，b=1，c=3
C．a=2，b=﹣3，c=﹣1 D．a=2，b=﹣3，c=1
【答案】C
【解析】
解：∵2x2﹣3x-1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1，
故选：C．
10．（2020·重庆南开中学初二月考）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2
【答案】B
【解析】
解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得：
-3x2+4x-2=0，
∵a＞0，
∴3x2-4x+2=0，
∴一次项和常数项分别是：-4x，2，
故选：B．
考点2：一元二次方程方程的解
典例：（2020·广东省初三其他）是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，所以a+2b=−1，所以2a+4b=2(a+2b)=2×(−1)=−2.
故选：A.
方法或规律点拨
本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法.
巩固练习
1．（2019·张家港市梁丰初级中学初二期中）一元二次方程，若，则它的一个根是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
在方程中，当时，
故选A．
2．（2018·内蒙古自治区初三期中）已知关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．1
【答案】A
【解析】解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0，
可得：4-2+k=0，
解得k=-2，
故选：A．
3．（2020·南通市八一中学初二期中）已知一元二次方程有一个根为1，则k为(　　)
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
解：∵一元二次方程有一个根为1，
∴将代入得：，
解得：；
故答案选：C.
4．（2019·山东省初三期末）若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】B
【解析】解：根据题意：当x=﹣1时，方程左边=a﹣b+c，而a+c=b，即a﹣b+c=0，
所以当x=﹣1时，方程ax2+bx+c=0成立．故x=﹣1是方程的一个根．故选B．
5．（2019·黑龙江省初二期末）关于的一元二次方程的一个根为，则为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
根据题意将x=0代入方程可得：a2-1=0，
解得：a=1或a=-1，
∵a-1≠0，即a≠1，
∴a=-1，
故选：B．
6．（2020·浙江省初二期中）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0有一个根为0，则m的值（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】
解：把x＝0代入方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0中，得m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝3或﹣1，
当m＝﹣1时，原方程二次项系数m+1＝0，舍去，
故选：B．
7．（2020·浙江省初二期中）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2020 B． C．2019 D．
【答案】C
【解析】
∵a是方程的一个根，
∴a2-a-1=0，即a2-1=a，a2-a=1
∴
=
=-1+2020
=2019．
故选：C．
8．（2019·陕西省初三一模）已知关于的方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
把x＝a代入得a2-ab-2a+a＝0，
所以a-b-1＝0，
所以a-b＝1．
故选：C．
9．（2020·辽宁省初三月考）若一元二次方程x2+2x+a＝0有一根为1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解析】
解：将x＝1代入方程可得：1+2+a＝0，
∴a＝﹣3，
故选：D．
10．（2019·山东省初二月考）若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为( )
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定
【答案】C
【解析】
∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
考点3：解一元二次方程
典例：（2020·海门市东洲中学初二期中）用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
【答案】（1），；（2），；（3）.
【解析】
（1）






故方程的解为，；
（2）5x2+2x﹣1=0

故方程的解为，；
（3）

解得，
故方程的解为.
方法或规律点拨
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
巩固练习
1．（2019·内蒙古自治区初三期末）一元二次方程（x+2）（x﹣1）＝4的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【答案】B
【解析】
原方程整理得：x2+x-6=0
∴（x+3）（x-2）=0
∴x+3=0或x-2=0
∴x1=-3，x2=2．
故选B．
2．（2020·浙江省初二期中）将方程x2－6x＋1＝0配方后，原方程变形（ ）
A．(x－3)2＝8 B．(x－3)2＝－8
C．(x－3)2＝9 D．(x－3)2＝－9
【答案】A
【解析】移项得：x2－6x＝-1，
配方得：x2－6x +9=-1+9，
即(x－3)2＝8，
故选：A
3．（2020·重庆市璧山来凤中学校初三月考）将方程2x2﹣5x＝1﹣3x化为一般形式是_____．
【答案】：2x2﹣2x﹣1＝0
【解析】
解：2x2﹣5x＝1﹣3x，
2x2﹣5x﹣1+3x＝0，
2x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：2x2﹣2x﹣1＝0．
4．（2020·安徽省合肥市五十中学新校初二月考）解方程：
（1）x2-2x-3=0
（2）x（x-2）=4
【答案】（1），；（2），
【解析】（1）
即
解得：，
（2）




∴，
5．（2020·浙江省初二期中）选用适当的方法解下列方程
（1）2x2﹣5x﹣8＝0
（2）（x﹣2）（2x﹣3）＝2（x﹣2）
【答案】（1）x1＝，x2＝ ；（2）x1＝2，x2＝．
【解析】
解：（1）在此方程中，a=2，b=﹣5，c=﹣8，
所以，
∴，
∴x1＝，x2＝；
（2）移项，得（x﹣2）（2x﹣3）－2（x﹣2）=0，
原方程可变形为：，
即，
∴x－2=0或2x－5=0，
解得：x1＝2，x2＝．
6．（2020·南通市八一中学初二期中）解方程
（1）(x+3)(x﹣3)=3
（2）x2﹣2x﹣3=0(用配方法))；
（3）(x-5)2=2(5-x)
（4）6x2﹣x﹣2=0
【答案】（1）x1=2 ，x2=-2；（2）x1=3，x2=-1；（3）x1=5，x2=3；（4），
【解析】
解：（1）整理得，
x2=12
∴x1=2 ，x2=-2
（2）x2﹣2x+1=4
∴(x-1)2=4
∴x-1=2或x-1=-2
∴x1=3，x2=-1
（3）移项，得(x-5)2-2(5-x)=0

∴
∴x1=5，x2=3
（4）将原方程因式分解，得

∴，
7．（2018·内蒙古自治区初三期中）解方程
①x2﹣x﹣1＝0
②x2+6x﹣27＝0
【答案】(1) x=;(2) x1=3，x2=-9.
【解析】
①x2-x-1=0，
a=1，b=-1，c=-1,
b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,
∴x=;
②x2+6x-27=0,
(x-3)(x+9)=0，
x-3=0，x+9=0,
∴x1=3，x2=-9.
8．（2020·浙江省初二期中）解方程：
（1），
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）

或
∴
（2）

∴
9．（2019·黑龙江省初二期末）（1）用因式分解法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
【答案】（1）x1=-4，x2=3；（2）x1=，x2=．
【解析】
（1）方程整理得：x（x+4）-3（x+4）=0，
分解因式得：（x+4）（x-3）=0，
可得x+4=0或x-3=0，
解得：x1=-4，x2=3；
（2）这里a=4，b=-6，c=-3，
∵△=36+48=84，
∴x= ，
解得：x1=，x2=．
考点4：一元二次方程根的判别式
典例：（2020·北京初三一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）写出一个符合条件的的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）；（1）
【解析】
解：（1）由题意得，，
解得；
（2）答案不唯一，如：，
此时，方程为，
解得．
方法或规律点拨
本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，掌握知识点是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东省初三一模）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k=0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1
【答案】B
【解析】
解:①当k=0时,方程化为-3x-=0,解得x=;
当k≠0时,Δ=≥0,解得
k≥-1,所以k的范围为k≥-1.
故选B.
2．（2020·广东省深大师范坂田学校初二期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【答案】C
【解析】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．
故选C
3．（2020·甘肃省初三一模）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】B
【解析】
，方程有两个不相等的实数根，故选B
4．（2020·宁夏回族自治区初三二模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范围是且．故选D．
5．（2020·江苏省初三其他）一元二次方程的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
解：∵△＝b2-4ac＝16−12＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
6．（2020·山西省初三其他）关于 x 的一元二次方程 ax2﹣3x﹣a=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】因为方程ax2﹣3x﹣a=0是一元二次方程，所以a≠0，
则，
所以方程ax2﹣3x﹣a=0有两个不相等的实数根.
故选A.
7．（2020·山东省东平县江河国际实验学校初三二模）已知关于x的方程有实数根，则下列整数不满足a的取值的是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】
解：当a-6=0时，即a=6，方程化为-8x+6=0，解得，
当a-6≠0时，，解得，
所以a的范围为，，不满足条件.
故选：D.
8．（2020·广东省中大附属外国语实验中学初三期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
解：由题意可知：
解得：
故答案为：
9．（2020·北京初三一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）m＜3；（2）取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
【解析】解：(1)根据题意得△＝(-4)2-4(2m-2)＞0，
解得m＜3
故答案为：m＜3.
(2)取m＝0，
此时方程为x2﹣4x＝0
即：x(x-4)=0
解得x1＝0，x2＝4．
取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
10．（2020·北京初三一模）已知：关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，取一个的值，求此时该方程的根．
【答案】(1) ；(2) 取时，其根为(答案不唯一).
【解析】(1)∵关于x的方程（m-2）x2-3x-2=0有实数根，
∴①当，此时方程为-3x-2=0，方程解为x=-，即时满足题意要求；
②当，即时，，
解得且
综上， 的取值范围是：.
故答案为：.
（2）取，此时方程为x2-3x-2=0，
a=1，b=-3，c=-2，
b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=17>0，
所以.
故取时，其根为(答案不唯一)
11．（2019·中山大学附属中学初二期末）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋.
【解析】
2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
12．（2020·四川省初三二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．
【答案】（1）m＜1；（2）x2＝1．
【解析】
（1）△＝4﹣4m＞0，∴m＜1．
（2）根据根与系数的关系可知：x1+x2＝2，因为x1＝1，所以x2＝1．
13．（2020·内蒙古自治区初三月考）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】，此时方程的根为
【解析】
解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，