高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

4.5.1  函数的零点与方程的解

【学习目标】

【自主学习】

一.    函数的零点

对于函数y＝f(x)，把                叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的图象与x轴交点的      就是函数y＝f(x)的零点．

思考1：(1)函数的零点是点吗？

(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？

二．函数的零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条         的曲线，并且有         ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内            ，即存在c∈(a，b)，使得      ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)f(x)＝x2的零点是0.(　　)

(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． (　　)

(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)

(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　　)

【经典例题】

题型一　求函数的零点(方程的根)

点拨: 函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－x2－4x－4；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝4x＋5；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

【跟踪训练】1  已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝____.

题型二　判断零点所在的区间

点拨：判断函数零点所在区间的三个步骤：

1.将区间端点代入函数求出函数的值.

2.把所得函数值相乘，并进行符号判断.

3.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.

例2  f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

【跟踪训练】2 若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)

A．－2　　　　 B．0　　　　

C．1　　   D．3

题型三　函数零点个数的判断

点拨：1.判断零点的个数时 由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数.

2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.

例3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4

【跟踪训练】3 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是      。

【当堂达标】

1.（多选）若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(x) <0，f(1) >0，f(2) >0，则下列说法错误的是（    ）

A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点

B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

2.函数f(x)＝4x－6的零点是(　 　)

A．　　      B．(，0)         C．　　   D．－

3.函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　 　)

A．(0,1)       B．(1,2)          C．(2,3)    D．(3,4)

4.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：

则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A．2个        B．3个         C．4个      D．5个

5.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．

6.求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．

【参考答案】

【自主学习】

使f(x)＝0的实数x   横坐标

思考1 (1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．

(2) 相等。

连续不断  f(a)·f(b)<0  至少有一个零点  f(c)＝0

思考2 (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.

【小试牛刀】

(1)√　(2)×　(3) √　(4)×

【经典例题】

例1解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.

(2)令＝0，解得x＝1，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.

(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．

(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.

【跟踪训练】1 －6 解析： 由条件知f(-1)＝0， f(4)＝0，，∴，∴，

∴f(1)＝a＋b－4＝－6.

例2  C解析：f(1)＝1－9＝－8<0，

f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，

f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，

∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．

【跟踪训练】2  A 解析： f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，f(1) f(2)<0，解得－4< a<－1，选A.

例3 B解析：易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.

【跟踪训练】3  (0,2) 解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.

【当堂达标】

1.ABD 解析：由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．

2. C 解析：令4x－6＝0，得x＝，∴函数f(x)＝4x－6的零点是.

3. B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．

4. B 解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．

5. 2 解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．

6.解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.

令y1＝log2x，y2＝x－2.

画出两个函数的大致图象，如图所示．

有两个不同的交点．

所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．